Aforisma 23/02/2017

“Vengo sempre trattato come un problema e mai come un’opportunità”.


Era questo che sentivo. Era questo che avevo sentito e non smettevo di provare. Quanto sarebbe stato bello smettere di pensarci; di pensarti! Ed invece: per tutte le volte che io soffrivo, tu sorridevi. Ed io soffrivo di più — perché quel sorriso non era per me. E, oggi ne ho la conferma, non sarebbe stato per me.

La lontananza continua a ferire, ma ad ogni ferita che si riapriva ormai ho fatto il callo.

∃x(φx)

Annunci

Che cos’è un numero naturale?

Non è facile definire un numero naturale. Certo qualcuno, pragmaticamente, potrebbe dire: “Un numero naturale è uno dei numeri che iniziano per 0, 1, 2, …”. Bella risposta, almeno intuitivamente. Ma la domanda non era “quanti e quali sono i numeri naturali?”, bensì quale fosse la definizione di un numero naturale. In altre parole: non vogliamo un elenco di numeri naturali, vogliamo prima sapere quali siano le proprietà che li caratterizzano. Ossia la loro natura. A fornirci la risposta è stato il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) che ha definito l’assiomatizzazione standard di tali numeri nel suo lavoro: “Arithmetices principia, nova methodo exposita”, pubblicato nel 1889 .
Che cos’è, dunque, un numero naturale? Sappiamo che ogni genere di numeri fa parte di un insieme ed è in un insieme contenuto. L’insieme (o il dominio) dei numeri naturali viene per convenzione chiamato “Insieme N“. Diremo che un numero x è naturale se e solo se x ∈ N. Se x appartiene all’insieme, o è un elemento dell’insieme, N, allora x è un numero naturale. Cioè si deve verificare la seguente condizione:

= {x}

La rappresentazione è intuitiva. Abbiamo definito come un insieme con un unico elemento. “= {1}” è un insieme formato da soli numeri naturali per esempio. Potremmo anche scrivere così:

  1. = {x, y, z, …, n}
  2. = {1, 2, 3, …, 1938}

1. e 2. sono perfettamente equivalenti, possiamo dire che 2. è un’istanza di 1, cioè 2. è l’esempio pratico dell’esempio formale 1. Fatto vedere ciò, però, ancora non siamo giunti ad individuare le proprietà che fanno sì che questi numeri siano naturali. Abbiamo, infatti, semplicemente mostrato un elenco di numeri, ora vogliamo sapere quali siano i criteri per i quali far rientrare un numero x sotto l’insieme dei numeri naturali.
Supponiamo che ci siano dei numeri naturali x, y, z, allora le condizioni (o proprietà) di base che essi devono soddisfare sono:

(1)   0 è un numero naturale.
(2)   Per ogni numero naturale, x = x.
(3)   Per ogni numero naturale, (x = y) ⇒ (y = x).
(4)   Per ogni numero naturale, [(x = y) & (y = z)] ⇒ (x = z)
(5)   Per ogni x e y, se y è un numero naturale e (x = y), allora anche x è un naturale.

(1) è un’assunzione ed indica che 0 è una costante. (2)-(5) indicano le proprietà equazionali dei numeri naturali, rispettivamente essi sono: riflessivi, simmetrici, transitivi e chiusi rispetto all’equazione (cioè se due numeri sono uguali fra loro e di uno dei due sappiamo che è un naturale, allora possiamo dedurre che anche l’altro sia un naturale). Aggiungiamo ora le ultime condizioni che specificano invece le proprietà aritmetiche.

(6)   Per ogni numero naturale x, S(x) è un numero naturale.
(7)   Per ogni naturale x e y, (x = y) se e solo se [S(x) = S(y)].
(8)   Per ogni numero naturale, S(x) = 0 è falso.

Le condizioni (6)-(8) sono ciò che davvero individua i numeri in quanto naturali. La condizione (6) ci dice che il successore di un numero naturale è ancora un numero naturale. Per cui:

  1. (1 ∈ N) ⇒ S(1) ∈ N
  2.    S(1) ∈⇒ S(S(1)) ∈ N

In 1. ci viene detto sostanzialmente che il successore di 1, ossia 2, fa ancora parte dei numeri naturali, così il successore del successore di 1, ossia 3, fa ancora parte dei numeri naturali.
La condizione (7) a tal punto è banale: due numeri naturali sono uguali se e solo se anche le loro successioni lo sono. Ossia:

(1 = 1) ⇔ (2 = 2)
(1 = 3) ⇔ (2 = 4)

Infine la condizione (8) è forse la più intuitiva: nessun numero ha come successore 0. Ossia: 0 è il primo dei numeri naturali e dunque non è il successore di nessun numero, perché non ci sono altri numeri naturali prima di esso!
Ecco fatto, siamo riusciti ad individuare tutti i numeri naturali per mezzo delle condizioni (1)-(8).


COROLLARIO: Come si generano i numeri naturali?

La generazione dei numeri naturali si dà semplicemente aggiungendo una condizione, che chiamiamo, in continuità con le precedenti condizioni, (9):

(9) Se è un insieme tale che:

  • 0 è un elemento di N,
  • Per ogni numero n in N, si ha che S(n) è anch’esso in N,

Allora contiene ogni numero naturale.

La condizione (9) è anche detta “assioma dell’induzione”. A partire cioè da soli due elementi (lo zero ed il successore di un numero, che potrebbe appunto essere anche il successore di zero) e dalle loro proprietà possiamo derivare l’esistenza e la costruzione dell’intero insieme dei numeri naturali.



∃x(φ)

 

 

Nei tuoi occhi, tutti i miei desideri

Ero solo davanti alla finestra. Non mi accorsi nemmeno di quello che stava accadendo. Non vedevo altro che un cielo blu, blu come non lo avevo mai visto. O forse sì, forse lo avevo già visto da qualche parte: era blu come i tuoi occhi celesti. Ma io cosa avrei potuto fare? Confessai. Confessai a te, che vivevi dentro di me, che amavo quel blu, perché profumava di te. Erano le orme che tu lasciavi nel mondo per dirmi che mi volevi. Che volevi me al tuo fianco. Erano le orme che io, da cattivo cacciatore, non riuscivo più a seguire. Avevo dimenticato. Ma avevo dimenticato non come si seguivano le tue orme, bensì come potessi ucciderti. — A cosa sarebbe mai servito trovarti se non avessi saputo farti mia?! A cosa sarebbe servito percorrere infinite distanze per rendere finito lo spazio che ci separava?! E così, smisi di inseguire quelle orme. Mi limitai a guardarle. Mi limitai a restare solo. Mi limitai.
Resta vero, però, che io non avevo mai visto quel blu. Perché i tuoi occhi erano quel cielo. Perché nei tuoi occhi vedevo tutte le stelle — nei tuoi, tutti i miei desideri.

Cosa stava accadendo? Nulla, eccetto te.


9 ottobre 2017,
∃x(φ)

Piedini

20170602_181433

Ma se ogni passo che fai lo farai al mio fianco, allora ti proteggerò. Ti proteggerò sempre — e se necessario, spezzerò il manto gelato dei nostri inverni per te, così che tu possa camminare dove ho già camminato io. Se necessario, ti aprirò una nuova strada — solo tua, solo tua e mia, che ti conduca proprio dove voglio che tu vada: alla felicità. Se necessario, il mio piede sarà quanto il passo del tuo piedino. E non cadremo più, non cadremo mai — perché su due gambe si può anche perdere l’equilibrio e battere a terra, ma non di certo su quattro; anzi: tre e mezzo, perché tu sei piccola. E se anche i nostri tre piedini e mezzo cadessero tutti in fallo, tu non ti preoccupare — tu reggiti, che cadi su di me.
– Perché?
– Perché preferirò sempre farmi male io per te; per tutti e due.

Tuo, M.


∃x(φ)

Il problema Gettier

Vi è in epistemologia (un settore della filosofia che si occupa dello studio della conoscenza) una teoria, che viene fatta risalire a Platone (sebbene egli si occupò solo della sua esposizione, senza sostenerla), che è oggi detta “standard view” sulla natura della conoscenza. In altre parole, tale teoria cerca di rispondere alla domanda: “Che cos’è la conoscenza?”.
A tale domanda segue spesso la risposta che la conoscenza sia opinione vera con delle prove a sostegno di tale opinione. Ma bisogna procedere per gradi e porre prima una definizione precisa. Partiamo innanzitutto da una chiara e non controversa assunzione:

(Ass) Conoscenza è sempre conoscenza di qualcosa.

La proposizione (Ass) è un’assunzione di base, dunque fondamentale. Come si potrebbe infatti dare conoscenza di nulla? Se si ha conoscenza di nulla, allora non si conosce nulla.

(Def) Conoscenza = Opinione vera giustificata
(Def1) Conoscenza di X = Opinione vera giustificata per X

In (Def) e (Def1) abbiamo definito la conoscenza come qualcosa che per essere tale deve soddisfare tre proprietà più semplici — tale modello viene spesso chiamato anche “modello addizionale” perché la conoscenza è l’addizione di “opinione”+”verità”+”giustificazione”. La conoscenza viene dunque ridotta a qualcos’altro di più fondamentale e primitivo, ossia a tre fattori, tali fattori insieme garantiscono la conoscenza di qualcosa. Pare, infatti, che per avere conoscenza di X noi dobbiamo innanzitutto credere che sussista X, poi che X sia vero ed infine avere delle prove per sostenere che X sia vero.
Facciamo un esempio: Alberto sa che c’è un cavallo nella stalla del suo maniero. Che cosa permette ad Alberto di sapere ciò? Alberto sa ciò perché: (a) crede che ci sia un cavallo nella sua stalla (come potrei, infatti, mai conoscere ciò a cui non credo o su cui non ho alcuna opinione?), (b) c’è effettivamente un cavallo nella stalla (a prescindere dal fatto che Alberto sia o meno cosciente di ciò), (c) Alberto ha visto che poche ore prima è arrivato un camion addetto al trasporto di animali vivi, in più suo padre qualche giorno prima gli aveva comunicato che sarebbero arrivati dei cavalli nell’arco di un mese al massimo, senza tuttavia conoscere quale fosse il giorno preciso di arrivo degli animali al maniero. Date le condizioni (a)-(c), pare che Alberto sia giustificato nell’opinare che vi sia almeno un cavallo nella stalla e tutti noi saremmo portati a dire che egli effettivamente sa che ci sono dei cavalli.


Il controesempio di Gettier

Ci fu però un filosofo, di nome Edmund Gettier, che nel 1963 pubblicò un articolo [Is Justified True Belief Knowledge? in Analysis 23] in cui mostrava come ci fossero dei casi che soddisfacevano le condizioni (a)-(c) della standard view senza tuttavia produrre l’esito sperato, ossia senza produrre conoscenza negli individui che erano i protagonisti di questi esempi (in termini tecnici, un esperimento mentale del genere teso ad invalidare una tesi che si assume valida, è detto “controesempio”).
Alberto, come abbiamo detto sopra, è giustificato nel credere che vi siano dei cavalli nella stalla. Tuttavia, ad una analisi più attenta, veniamo a sapere che (A) quelli che erano stati portati questa mattina dal camion non erano cavalli, bensì asini e (B) che il padre di Alberto aveva capito male riguardo a quale tipo di animale sarebbe stato portato al maniero (confondendo, supponiamo, i cavalli per gli asini). Tuttavia ci sono effettivamente dei cavalli all’interno della stalla, portati però dalla fattoria vicina, perché la stalla dei vicini doveva essere ristrutturata. Alberto, dunque, sa davvero che vi sono dei cavalli nella stalla date le sue giustificazioni o ha soltanto per un caso fortuito (e dunque, opinato-creduto e non conosciuto) azzeccato che vi fossero dei cavalli nella stalla?

Pare dunque che un controesempio di Gettier renda palese il fatto che la standard view non fornisca delle condizioni sufficienti e necessarie affinché si dia conoscenza, ma soltanto delle condizioni sufficienti.
L’algoritmo che ci permette di generare i controesempi di Gettier è molto semplice: assumiamo le condizioni di (Def), forniamo le premesse (le giustificazioni) “X1, … Xn” che permettono a qualcuno di conoscere Y secondo la standard view, poi si mostra come tali premesse fossero false ma che comunque Y sia valida. In termini formali possiamo riassumere così:

(G)  (p conosce Y) se e solo se (p ha ragioni per credere Y), ossia:
(G*) Kp(Y) ⇔ (X1, …, Xn) — [“K” sta per conoscere].

(1) Kp(X1, …, Xn ⇒ Y)            Assunzione
(2) ¬(X1, …, Xn)                       Premesse false
(3) Y                                          Conclusione vera comunque
(C) ¬(X1, …, Xn ⇔ Y)               Controesempio a (G)-(G*).

Risultati immagini per gettier problem

Il mio errore

Il mio problema è sempre stato questo: tratto le persone con più rispetto di quanto ne meritino. Non imparo mai, continuo a dirmi sempre che tutti meritano una seconda possibilità anche dopo avermi deluso, ma, inevitabilmente, tutti continuano a deludermi. Li giustifico, dico a me stesso che l’animo umano è volubile ed è una conseguenza di ciò il fatto che una volta commesso un errore, questo si può perdonare. E questo è puntualmente un errore al quale non so porre rimedio. — Ma come io perdono gli altri, non dovrei forse perdonare me stesso per dare comunque e sempre a costoro il meglio di me?
C’è qualcosa di paradossale nel mio errore: se dessi sempre a tutti una seconda opportunità, allora continuerei a commettere il mio errore più di una seconda volta e quindi non dovrei perdonarmi, se decidessi di non commettere più il mio errore allora non dovrei più dare a tutti la seconda possibilità che avevo assunto meritassero.

Qui la logica non mi aiuta, la morale sì: meglio veder soffrire me e solo me piuttosto che voi — piuttosto che te.


∃x(φx)

Ne avevamo bisogno

Abbiamo sempre fatto così, abbiamo sempre sbagliato così e continuiamo a sbagliare. Dovremmo ascoltare di più il cuore e meno le lingue, di più le nostre labbra e meno le nostre parole, di più i nostri sentimenti e meno i nostri umori. Perché ciò che conta, ciò che ha sempre contato, non è mai stato il numero incalcolabile dei nostri “ti amo”, ma il nostro prenderci per mano e dirci — che eravamo il sogno più bello dell’altro.
Quando il presente ritorna al passato, il passato sa di futuro. Dobbiamo solo capire se questo sarà un futuro mancato o un passato pronto a tornare presente. Il nostro attimo più bello, forse, non è mai arrivato, ma deve ancora arrivare.

Mi manca il tuo odore, mi manca il tuo sapore, mi mancano tutti i colori che lanciavi sulla tela, sulla tela che era la mia vita. Perché la mia vita era la tua opera d’arte. 


Ne avevamo bisogno, avevamo bisogno l’uno dell’altro
— con tutte le nostre differenze.
∃x(φ)

[08.2016]

Sguardi dal passato

Io ero lì, già a qualche metro da terra. Lei era lontana, ma alla portata della mia vista. Fu la potenza di un attimo ad unirci: un incrocio di due sguardi. Lo sapevamo entrambi, quegli sguardi si erano cercati, voluti dal caso e si soffocarono l’uno nell’altro così come erano nati l’uno nell’altro. Si guardarono per qualche secondo — ma quei secondi sembrarono un’eternità per noi che li abbiamo vissuti, e tanto e non di meno ci sarebbe bastato: l’eternità che abbiamo intravisto fra noi.
Ci guardavamo e capimmo subito tutto delle nostre intenzioni.
Io vorrei qualcosa che so non otterrei. Vorrei solo che quegli occhi mi guardassero così un po’ più spesso. Quello era davvero uno sguardo venuto dal passato — mi ha riattivato la circolazione, mi hai fatto risentire mangiato, divorato, tuo.
Mi hai bombardato con i tuoi occhi. Nessuno mi ha più guardato come te, neanche tu stessa se non quel giorno, quel giorno da nulla che per me, adesso, è diventato un altro dei nostri tanti giorni da ricordare — forse, per te è più facile non pensarci, forse per te è più facile perché tu hai scelto. Tu hai scelto ed io ho subito. Forse è per questo che continuiamo a viaggiare a velocità diverse. Ma con quello sguardo eravamo allo stesso passo, lo stesso battito, le stesse palpitazioni.
Con quello sguardo abbiamo ritagliato uno spazio diretto fra noi e per noi, meglio di qualsiasi ingegnere avesse mai potuto fare.
E allora guardami, guardami e dimmi che non è ancora la mia fine.


Panchina al Terminal, 21 luglio 2016
∃x(φ)