Non numerabilità dei reali

I numeri reali li conosciamo tutti, sono quei numeri tipo Pi greco (π = 3,141592…).
La cosa interessante di questi numeri è che non sono numerabili. Ora, se indichiamo l’insieme dei numeri reali con la lettera ℜ, allora diciamo che ℜ è numerabile se e solo se ogni elemento appartenente ad esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (1, 2, 3, …). Che cos’è la corrispondenza biunivoca? Niente di difficile, significa solo che: se ci immaginiamo i numeri disposti in ordine crescente su una retta, allora ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo numero naturale e viceversa. Possiamo immaginare la situazione così:

1, 456830 ↔ 1
1, 485003 ↔ 2
2, 068428 ↔ 3
2, 858003 ↔ 4
3, 264593 ↔ 5

E così via ad infinitum. Il punto è: instaurare una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi (quello dei numeri naturali e quello dei numeri reali) è possibile?
Secondo Georg Cantor (1845-1918) la risposta è: no, non è possibile. I numeri reali non sono numerabili. Detto altrimenti: nell’insieme dei numeri naturali diciamo che la serie dei numeri è discreta, ossia a 1 segue un 2, a 2 segue subito 3, a 3 segue subito 4 e così via. Nell’insieme dei reali, invece, la serie dei numeri è continua: fra 1 e 2 ci sono infiniti numeri! Cioè: 1, 00000 < 1, 00001 < 1, 00002 < … < 2.
Ma come si fa a dimostrare che i numeri reali, quindi, non sono numerabili? Eh la dimostrazione è anch’essa piuttosto semplice e fa uso del metodo diagonale (o diagonalizzazione) inventato dallo stesso Cantor.
Dimostrazione: per assurdo
Supponiamo che l’insieme dei reali sia numerabile e scriviamo:
(1) Num(ℜ)
Se questo insieme è numerabile, allora lo sarà anche l’intervallo fra 0 e 1 appartenente ai numeri reali, cioè la serie: 0, 00000 < 0, 000001  <  … <  1. Scriviamo quindi:
(2) Num([0, 1])
Se questo intervallo è numerabile, allora possiamo indicare tutti i numeri decimali all’interno di questo intervallo disponendoli in una matrice (tabella). Chiamiamo questi numeri compresi fra 0 e 1 con la lettera greca α, allora:
(3) < α1, α2, α3, α4 > ∈ ℜ
α1 = 0, 8 2 1
α2 = 0, 3 3 2
α3 = 0, 4 3 8
α4 = 0, 4 5 8 1
Per semplicità fermiamoci al quarto numero compreso fra 0 e 1, supponendo di averli enumerati tutti. Adesso, però, possiamo usare il metodo della diagonale di Cantor e prendere le cifre che ho evidenziato in grassetto per costruire un nuovo numero che chiamiamo β, che avrà la forma:
(4) β = 0, 3 8 4 1
Questo numero, appartiene ancora all’insieme dei numeri compresi fra 0 e 1 e sarà uno dei numeri che, presumibilmente, viene dopo α4. Tuttavia possiamo definire adesso un nuovo tipo di numero, β*, tale che questo β* differisca per costruzione da ogni altro numero appartenente all’intervallo fra 0 e 1. Come? Così:
(5) β* = ∀∈ β → n +1.
Ossia, possiamo costruire questo numero β* non compreso nella precedente tabella aggiungendo un +1 ad ogni numero decimale di β.
(6) β* = 0, 4 9 5 2
Questo nuovo numero, per come lo abbiamo costruito, differisce al più per una cifra da ogni altro numero che esiste nella tabella. Questo numero appartiene all’intervallo [0, 1]. Eh ma noi avevamo supposto che quell’intervallo fosse già stato enumerato completamente! Ergo: siamo caduti in un assurdo: pur supponendo di aver un intervallo completamente enumerato, esiste un numero non elencato nell’enumerazione di quell’intervallo. Quindi: l’intervallo fra 0 e 1 non è numerabile!
(7) ¬Num([0, 1])
E a maggior ragione se una sua parte non è numerabile, allora non sarà numerabile neanche l’intero insieme dei numeri reali. Quindi:
(8) ¬Num(ℜ).

QED

La dimostrazione è conclusa e, in modo ingegnoso ma semplice, siamo riusciti a dimostrare il teorema della non numerabilità dei numeri reali.


∃x(φ)

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Come si sceglie il male?

La vita mette davanti a situazioni spiacevoli. Spesso la scelta non è fra due opzioni di cui una è buona e l’altra cattiva. Spesso la scelta è fra due situazioni entrambe spiacevoli. Ed allora, se sei fortunato, puoi scegliere il male minore. Ma se sei sfortunato, entrambe le scelte ti procureranno lo stesso grado di dolore e tristezza. E tu sarai obbligato a scegliere. — Dovrai scegliere il tuo stesso male, un male che hai creato tu a causa del tuo orgoglio o a causa di una generica questione di principio, o magari perché starai cercando di fare la cosa giusta.
Sarai abbastanza coraggioso per farlo?

Se il male minore non c’è, come fai a scegliere fra l’uno e l’altro male?
Forse per scegliere il male, è necessario diventare maligni?

∃x(φx)

Teorema di Robinson

Il Teorema di Robinson (1956), anche detto teorema della somma di teorie, ci dice in che modo due teorie possano unirsi. Stabilisce, cioè, le condizioni affinché due teorie differenti (ma che abbiano almeno qualcosa in comune) possano unirsi per formare un’unica teoria unificata. Perché è importante questo teorema? Beh, se si pensa che la fisica quantistica (o, più specificatamente: la teoria della relatività e la meccanica quantistica) non è altro che un insieme di teorie matematiche fra loro non necessariamente non contraddittorie, allora il teorema di Robinson ci indica la strada da percorrere affinché si possa giungere ad una teoria del tutto (o teoria fisica unificata).
Veniamo ora nel vivo del teorema:

Enunciato: T e T* sono consistenti se e solo se sono compatibili. Dove compatibili significa che: (I) T è consistente; (II) T* è consistente; (III) non esiste una formula C tale che il linguaggio in cui è formulata C è incluso o uguale all’intersezione del linguaggio di T con il linguaggio di T* e: T dimostra C e T* dimostra ¬C.

[Ho usato il segno ¬ per indicare la negazione di C, quindi ¬C equivale a non-C].
Spieghiamo meglio cosa significa l’enunciato. Due teorie differenti, che chiamiamo T e T*, sono non contraddittorie (ossia, consistenti fra loro) soltanto quando essere sono compatibili. Ovviamente se le due teorie sono inconsistenti (ossia si contraddicono a vicenda), allora non sono compatibili: se una teoria dimostra A ed una dimostra non-A, allora A sarà sia vera sia falsa nella loro somma. Ma questo violerebbe il principio di non contraddizione, quindi è assurdo che si verifichi una tale evenienza. Per essere, invece, compatibili le due teorie devono essere entrambe, se considerate singolarmente, non contraddittorie (ossia non si dà il caso che T dimostri B e non-B,  e lo stesso vale per T*). In più, per essere sommate, bisogna che esse abbiano almeno qualcosa in comune nel loro linguaggio (ossia nel loro apparato concettuale diremmo in termini meno formali). Questo è un requisito necessario, altrimenti potremmo sommare una teoria che parla di atomi ed una che parla di Dio. Ma così confonderemmo una teoria scientifica con una teologica! Noi invece vogliamo restare in un campo ristretto, sicché si possano sommare teorie fra loro correlate.
Si noti, poi, che le due teorie sono consistenti fra loro se e solo se i loro assiomi di partenza sono consistenti.
Possiamo riscrivere (III) così:

  • (III)*   Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)].

Bene, bell’enunciato sicuramente. Ma è vero o falso? Per scoprirlo è necessaria una dimostrazione dell’enunciato. La dimostrazione si conduce sciogliendo il “se e solo se” nei due versi, ossia mostrando che il primo termine implica il secondo e, viceversa, che anche il secondo implica il primo.

Dimostrazione:
Dim 1: Se T e T* sono consistenti, allora sono compatibili. Questo verso della doppia implicazione è banale: se T e T* sono entrambe consistenti allora le condizioni (I) e (II) valgono. Quindi T non dimostra contraddizioni e neanche T* ne dimostra. Supponiamo ora che per assurdo le due teorie non siano compatibili, allora ciò significa che T+T* dimostra una contraddizione. Ma questo vuol dire che una fra T e T* è inconsistente! Ma non avevamo supposto fossero entrambe consistenti? L’ipotesi che due teorie sono consistenti ma incompatibili ci conduce dunque all’assurdo, quindi è falsa. Sarà allora vero che se due teorie sono consistenti allora esse sono compatibili.
Dim 2: Se T e T* sono compatibili, allora T e T* sono consistenti. Si procede con una dimostrazione per assurdo, cioè assumiamo che le due teorie siano compatibili ma che non siano consistenti.
(Userò il segno ⇒ per indicare che le due teorie dimostrano una certa proposizione. Userò poi il segno ⊥ per indicare una contraddizione e simbolizza l’assunzione “le due teorie, messe insieme, sono contraddittorie”; in altre parole equivale al fatto che si sta dimostrando l’enunciato per assurdo. Userò il segno ≡ per indicare che due forme sono equivalenti).
(o) T e T* sono compatibili.
(1) T + T* ⇒ ⊥
(2) Siano A gli assiomi di T e B gli assiomi di T*.
(3) A, B ⇒ ⊥
(4) ⇒ A→[B→(⊥)]   [(3) e (4) sono equivalenti; ho solo riscritto (3)]
(5) ⇒ A→ ¬B            [Se B implica l’assurdo, allora è vera non-B]
(5.1) A→¬B è vera anche se è falso A, cioè ¬A è vero, ed è vero ¬B.
(6) Dato (5.1), si danno i tre seguenti casi:
(6.1)  ⇒¬A ma per (2)   T ⇒ A & ¬A.
(6.2)  ⇒ ¬B ma per (2)  T* ⇒ B & ¬B.
(6.3)  Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)] e dunque:
          (6.3.1) [⇒A → C] ≡ [T ⇒ C].
          (6.3.2) [⇒ C → ¬B] ≡ [⇒ B → ¬C] ≡ [T* ⇒ ¬C]

QED

Poiché i sottocasi di (6) hanno condotto all’assurdo — i primi due perché sono in contraddizione con gli assiomi e l’ultimo, coi rispettivi altri due suoi sottocasi, perché dice che le due teorie T e T* dimostrano rispettivamente C e non-C — allora la negazione del teorema è falsa perché contraddittoria. Quindi l’enunciato del teorema è necessariamente vero.

                              

Ti ho lasciata a metà

È sempre stato un mio difetto. Lascio le cose a metà, così come ho fatto con te: sei rimasta la mia metà. La mia metà non vissuta fino in fondo. Dalla durata breve quanto il mio entusiasmo è stata la nostra vita insieme. L’entusiasmo, cosa c’era di più dolce? Eri tu l’incarnazione di ogni mia gioia. Tu eri il mio entusiasmo. Ma vedi io sono fatto così: inizio a leggere senza sosta le prime cinquanta pagine di un buon libro e poi lo lascio riposare in libreria — ti ho baciata finché non fossimo sazi ed ho, infine, lasciato riposare anche te; solo che tu, tu riposi sul mio cuore.
E ti ho lasciata. Ti ho lasciata a metà.
Eri tu la mia metà però, ora lo so — ora me ne rendo conto.
Scusami.


∃x(φx)

Introduzione alla logica proposizionale

La logica è la scienza del ragionamento e del buon argomentare. In seno ad essa v’è più d’un unico sistema logico — che in genere può essere definito induttivamente fornendo un alfabeto sintattico più delle operazioni di base. Un sistema fondamentale è quello che prende il nome di “logica proposizionale”. Non è difficile intuire il motivo per cui questo sistema è detto proposizionale: esso ha a che fare con le proposizioni (gli enunciati). Procediamo per passi però!

  1. Una proposizione è ogni enunciato il cui valore può essere definito solo da vero o falso.

Dato 1., sappiamo che enunciati come “Sta piovendo”, “Roma è la capitale d’Italia”, “Napoli è una città densamente popolata” rientrano sotto il dominio della logica proposizionale (d’ora in avanti abbrevierò in LP), perché di questi enunciati possiamo dire se siano veri o falsi. Enunciati, invece, che non ammetto nessuno dei due valori di verità sono frasi interrogative (“Sta piovendo?”), frasi esclamative, imposizioni o ordini (“Plotone, avanti, marche!”) ed ovviamente frasi che denotano emozioni (“Mah!”). Ci sono poi enunciati predicativi (“Esiste almeno un x, tale che x è P”) e enunciati modalizzati (“Necessariamente ogni X è P”), questi ultimi due casi rientrano sotto il dominio di logiche più potenti di quella proposizionale, rispettivamente la  logica predicativa e la logica modale che non fanno uso delle tavole di verità (di queste tavole si parlerà nel seguito).
Possiamo riscrivere 1. come segue:

  1. 1*    P ⇒ {V, F}

1.1* dice che se un enunciato è una proposizione, allora ad esso può essere associato un valore: o vero, o falso. Questo è anche detto “principio di bivalenza”. Poiché, poi, vale il principio di non contraddizione, è chiaro che una proposizione può prendere uno ed uno solo dei due valori: non può una proposizione essere sia vera sia falsa.


Alfabeto di LP

In LP esiste un alfabeto con una sintassi contenente certe regole di formazione per un discorso. Ci sono innanzitutto variabili che rappresentano le proposizioni, sicché enunciati anche molto complessi possono essere facilmente manipolati (l’ultima sezione fornisce un esempio di ciò). Per esempio:

(1) Paolo ha i capelli ricci.
(2) Ernesto ha i capelli scuri.
(3) Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto ha i capelli scuri.
(4) Se Paolo ha i capelli ricci, allora gli elefanti sono mammiferi.

Formalizzando, cioè usando le variabili proposizionali, avrò una forma ridotta simbolica dei suddetti enunciati come segue:

(1)’ P
(2)’ E
(3)’ P & E
(4)’ P → M

Chiaramente il livello di complessità simbolica in (1)’-(4)’ si riduce e ad ogni proposizione di (1)-(4) viene associata, per così dire, una lettera che funge da nome provvisorio per quella data proposizione. (1)-(1)’ e (2)-(2)’ sono proposizioni semplici, invece (3)-(3)’ e (4)-(4)’ sono proposizioni composte. Le proposizioni composte sono formate dalla connessione di proposizioni semplici. Ciò che connette due o più proposizioni semplici sono, appunto, i connettivi. I connettivi proposizionali (cioè quelli vero-funzionali, ossia che possono prendere un valore vero o un valore falso) sono soltanto: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
L’alfabeto di LP sarà dunque il seguente:

(i)   Un insieme infinito di variabili proposizionali: P, Q, R…
(ii)  I connettivi logici: ¬, ∧, ∨, →, ↔
(iii) Parentesi ( , )

Da (i)-(iii) possiamo costruire le formule. Una formula ben formata (ossia, una formula tout court) è tale che essa (a) ogni variabile proposizionale è da sola una formula, (b) se P e Q sono formule, allora ¬φ, φ∧χ, φ∨χ, φ→χ, φ↔χ sono formule, (c) nient’altro è una formula. (Ho usato le lettere greche in (b) perché queste fungono da schemi di formule, cioè φ può essere composta da P∧Q per esempio).
Ora che disponiamo di un alfabeto, possiamo passare alle tavole di verità, che ci dicono quando sono vere proposizioni come “Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto li ha scuri”.


Operazioni coi connettivi:
le tavole di verità

Abbiamo detto che i connettivi sono i seguenti:
Negazione = non P = ¬P
Congiunzione = P & Q = P ∧ Q
Disgiunzione = P oppure Q = P ∨ Q
Condizionale = Se P allora Q = P → Q
Bicondizionale = P se e solo se Q = P ↔ Q

I valori di ogni singola proposizione, che sono scritti nella prima colonna a sinistra, vanno stabiliti arbitrariamente ma da ciò il calcolo deriva non per arbitrarietà. Nella colonna (o nelle colonne) a destra ci sono i risultati del calcolo, ossia i valori finali che la proposizione avrà. È come se a sinistra facessimo delle ipotesi intorno al valore di verità di una data proposizione ed a destra indicassimo il valore di verità che deriva dalle suddette ipotesi. Il calcolo si ottiene correlando il valore ipotetico istanziato dalla proposizione a sinistra ed il connettivo applicato a tale proposizione a destra.
La tavola di verità (che ci dice in quali condizioni un connettivo è vero) della negazione è la seguente:

P          ¬P
V           F
F           V

Detto in altre parole: se P è vero, allora non-P è falso. Se è falso P, allora non-P è vero. Sembra funzionare no? Poiché ci muoviamo in una logica che ha solo due valori di verità, ne consegue che se una proposizione P è vera, allora la sua negazione sarà falsa (dato che non possono essere veri insiemi un’affermazione e la sua negazione, altrimenti violeremmo il principio di non contraddizione).
La tavola di verità per la congiunzione è la seguente:

P   Q        P ∧ Q
V   V           V
F   V            F
V   F            F
F   F            F

La spiegazione è intuitiva: se P e Q sono entrambe singolarmente vere, allora la proposizione complessa “P & Q” è vera. Esempio: Paolo ha i capelli ricci ed è di carnagione scura è vero se e solo se Paolo ha sia i capelli ricci sia la carnagione scura. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri (altrimenti non sarebbe una contraddizione!).
La tavola di verità della disgiunzione è esattamente la duale di quella della disgiunzione:

P   Q        P ∨ Q
V   V            V
V   F            V
F   V            V
F   F            F

Una disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni semplici sono false (ed è vera quando almeno uno dei due disgiunti è vero). Esempio: “Al concorso possono partecipare o laureati in informatica o laureati in ingegneria informatica”, questa frase è vera (cioè si può partecipare al concorso) se e solo se ci si è laureati in almeno uno dei due corsi di laurea o in entrambi. In quanto tale, è una disgiunzione inclusiva. Se, invece, la disgiunzione fosse stata esclusiva (questa è una forma molto più vicina al nostro linguaggio naturale), allora P ∨¯ Q avrebbe significato che si sarebbe potuto partecipare al concorso solo se si era laureati in informatica ma non in ingegneria informatica e viceversa.
C’è poi il condizionale, o implicazione materiale:

P  Q      P → Q
V  V          V
V  F          F
F  V          V
F  F          V

Questo è il meno intuitivo dei connettivi. Esso dice che un’implicazione è falsa solo quando le premesse sono vere e le conseguenze sono false, vera in tutti gli altri casi. Non è difficile far vedere, però, che ciò non rispecchia l’uso che facciamo dell’implicazione nel nostro linguaggio naturale. Nel linguaggio naturale c’è sempre una correlazione causale fra premessa e conclusione, in LP invece ciò non accade perché ciò che conta sono solo {V, F}. Ciò che conta è che la conclusione sia vera, non importa come ci si è arrivati; se tramite una premessa falsa o tramite una premessa vera, non importa.
C’è infine il bicondizionale, o doppia implicazione, che è sostanzialmente la reiterazione dell’implicazione nel verso opposto: se P implica Q, allora Q implica P = P sse Q.

P   Q      P ↔ Q
V   V          V
F   V           F
V   F           F
F    F          V

Chiaramente il bicondizionale dice che fra P e Q c’è un’equivalenza logica. Un’equivalenza dice che il primo termine è equivalente al secondo termine se il secondo ha lo stesso valore del primo e viceversa. Dunque, la proposizione complessa che connette P e Q sarà vera solo quando P e Q saranno proposizioni equivalenti, ossia quando avranno lo stesso valore di verità: o entrambe vere, o entrambe false. In altre parole: quando si implicheranno a vicenda.


Dimostrazione della verità
di una proposizione complessa

A questo punto non è difficile far vedere che possiamo formalizzare in LP un discorso complesso nel modo seguente:
Sia data la seguente proposizione: “Se Pina è andata a fare la spesa, allora Pina è uscita di casa. Se Pina è uscita di casa, allora ha preso la macchina. Quindi Pina ha preso la macchina”.
Formalizziamo: P = Pina andata a fare la spesa, Q = Pina esce di casa, M = Pina guida la macchina. Avremo la seguente proposizione in LP:

((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)

Questo è il primo caso in cui abbiamo usato le parentesi. Le parentesi ci aiutano a distinguere il campo operativo dei connettivi e sono essenziali per la determinazione del significato della proposizione (a meno che non si stabiliscano regole di forza del legame dei connettivi. Questa è l’alternativa, legittima, ma inusuale).
Determiniamo ora il valore di verità della suddetta proposizione:

P  Q  M      ((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)
V  V  V            v       V      v          V      V
V  V  F            v       F       f          V       F
V  F  V            f        F       v         V       V
V  F  F            f        F       v         V       F
F  V  V            v       V       v         V      V
F  V  F            v       F        f         V      V
F  F  V            v       V        v        V      V
F  F  F             v      V        v        V      V

(N.B. Il numero dei valori di verità è aumentato perché ora bisogna considerare anche la terza variabile proposizionale. Le possibili combinazioni aumentano esponenzialmente sicché al posto di avere due V e due F per variabile, si avranno quattro V e quattro F per ogni variabile).
Nella tabella superiore ho scritto le lettere minuscole per indicare il valore di verità dei congiunti (che in questo caso erano anche implicazioni, quindi il loro valore è stato determinato dalla regola del condizionale) presi singolarmente ed i valori in lettere maiuscole per indicare il valore della congiunzione nella premessa e quello della conclusione. I valori in grassetto indicano il valore che determina la verità di tutta la proposizione, ossia il valore del connettivo principale. Poiché il connettivo principale è sempre vero, allora siamo difronte ad una tautologia. Se fosse stato sempre falso allora avremmo avuto difronte una contraddizione. Se fosse stato qualche volta vero e qualche volta falso allora avremmo avuto difronte una contingenza.


∃x(φ)

Il principio più saldo di tutti

Il principio più sicuro di tutti è quello a proposito del quale è impossibile sbagliarsi, poiché è necessario che quello che è tale sia anche il più conosciuto (tutti infatti si sbagliano a proposito delle cose che non conoscono), e che sia non ipotetico, perché quello che deve necessariamente avere colui che comprende qualsivoglia fra gli enti, questo non è un’ipotesi; […]. Che un tale principio è il più sicuro di tutti, è chiaro; ma qual è questo, dopo di ciò diciamolo. È impossibile che lo stesso attributo appartenga e non appartenga allo stesso soggetto nello stesso tempo e sotto lo stesso aspetto.
Aristotele, Metafisica, Libro IV, cap.3, 1005b 13-20.

Qual è il principio più saldo di tutti? Quel principio tale che:

  1. è impossibile ingannarsi intorno a tale principio;
  2. è il principio massimamente conosciuto;
  3. è la base per ogni altra conoscenza, quindi è un fondamento epistemico;
  4. è non ipotetico, non è una mera assunzione.

Qual è il principio che soddisfa le condizioni 1-4? Il principio di non contraddizione (da qui in avanti abbreviato in: PNC). Di questo principio — dato il fatto che è non ipotetico e che è una base per ogni altra conoscenza — è impossibile dubitare. Tuttavia, poiché questo stesso principio è l’assunzione fondamentale di ogni altra dimostrazione (dato il punto 3), allora ne consegue che non è dimostrabile. Perché? Perché dimostrarlo vuol dire presupporlo. Se S vuole dimostrare P, allora S si impegna nell’assunzione che una volta dimostrato P, non avrà dimostrato anche ¬P, bensì avrà escluso quest’ultimo (ossia la negazione di P). In altre parole: se S dimostra che piove, allora dimostra che non è il caso che sia bel tempo.
Ma allora, noi conduciamo tutte le nostre dimostrazioni e fondiamo il nostro intero modo di pensare su un principio che non è certo? Su un principio di cui non possiamo avere una giustificazione razionale o almeno una garanzia della sua validità?
Aristotele elabora una strategia: non possiamo dimostrare direttamente PNC, tuttavia possiamo confutare chi nega PNC — ciò equivale a fornire una dimostrazione indiretta, per via dialettica, di PNC. Una dimostrazione di questo tipo è più propriamente una confutazione. L’idea base è che: dimostrazione ≠ confutazione.
Aristotele propone quattro argomenti principali contro la negazione di PNC.

Primo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento dialettico

Il passo aristotelico è il seguente:

(a) Supponiamo che vi sia un negatore di PNC (che sostiene cioè che tutte le contraddizioni sono vere, o che almeno qualche contraddizione sia vera) che possiamo chiamare N.
(b)  Supponiamo che N dica qualcosa o non dica nulla.
(c)  Se N non dice nulla allora sarà un vegetale, se N dice qualcosa allora si impegna a sostenere quel qualcosa e non qualcos’altro.
(∴) Quindi se N parla dicendo qualcosa di significante, necessariamente presuppone PNC e la negazione di PNC risulta così insostenibile.

Caso pratico:
Supponiamo che N dica la semplice parola “uomo”. Se dice uomo, allora non dice “non-uomo”, perché altrimenti non sarebbe possibile neanche il linguaggio, quindi neanche il pensiero. Questo primo argomento è basilare, nel senso che Aristotele a partire da nessuna assunzione filosofica riesce a far funzionare l’argomento sul solo presupposto che il discorso significhi qualcosa — ed in effetti pare che questo sia davvero un presupposto innocuo e universalmente riconosciuto (cosa c’è di più naturale ed intuitivo se non il pensare che una parola ha un significato?).

Secondo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento metafisico

Il secondo argomento è più tecnico e prevede qualche assunzione metafisica (dunque, è meno basilare del primo argomento). Funziona però altrettanto bene (e forse con maggior profondità) del primo. Esso procede nel modo seguente:

(1) X e Y sono uguali se e solo se hanno la medesima definizione.
(2) Definizione = Individuare l’essenza di ciò che vogliamo definire.
(3) Uomo = Uomo.
(3.1) Se x è un Uomo, allora x ha un’essenza.
(3.2) L’essenza di Uomo è “Animale Razionale”.*
(4) U = AR.
(5) Necessariamente: U(x) ⇒ AR(x).
(6) Necessario U = Non possibile non-U.
(7) Non possibile: U(x) & ¬AR(x).
(8) Non possibile: U(x) & ¬U(x).
(∴) PNC

*[Abbrevio “Uomo” con U e “Animale Razionale” con AR. Uso la x come variabile, si può tradurre come “qualcosa”: “necessariamente: se qualcosa è un Uomo, allora è un Animale Razionale” si legge in (5). Ci sono poi i consueti simboli logici: ¬ per la negazione di una proprietà (ossia affermare il contrario di un predicato), & per indicare la congiunzione ed infine la freccia ⇒ che sta per la relazione di conseguenza logica].
Meno formalmente: Aristotele dice sostanzialmente che se presupponiamo che due oggetti, X e nonX, siano identici, essi lo saranno solo se avranno la stessa definizione, ossia la stessa essenza. Ma sappiamo anche che se X ha un’essenza, allora sarà necessariamente ciò che l’essenza dice intorno all’essere di X. E se è necessario che X sia tale, allora non sarà possibile che X non sia ciò che la sua essenza dice che è. Ma poiché l’essenza identifica (perché definisce) X, allora non è possibile che il suddetto oggetto sia X e nonX. E, dunque, risulterà che PNC è necessariamente valido.

Terzo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della trireme

Il terzo argomento è forse anche più diretto del secondo. Esso si sviluppa a partire dall’accettazione di una contraddizione, o di tutte le contraddizioni. (Al termine di ogni proposizione indicherò in grassetto e fra parentesi quadre le regole logiche adoperate per giustificare l’inferenza dal passo precedente al passo successivo. Ove non vi sia inferenza, userò “Ass” per indicare una generica assunzione. Userò “App” come sigla per applicazione di un’assunzione su un passo successivo della dimostrazione. Userò “MP” per indicare il modus ponens ossia: se è vero A e se è vero che A implica B, allora è vero B. Indico poi la riduzione all’assurdo con la sigla “RAA”).

(1) Supponiamo che PNC non sia valido. [Ass]
(2) Se PNC non è valido, allora ogni cosa è P ed è nonP. [Da (1)]
(3) Se X è un uomo, allora X non è una trireme. [Ass]
(4) Se X è un uomo, allora X è una trireme. [App di (1) su (3)]
(5) X è un uomo. [Ass]
(6) X non è una trireme. [MP fra (3) e (5)]
(7) X è una trireme. [MP fra (4) e (5)]
(8) Se X è un uomo, allora è una trireme. [Da (1) su (5)]
(∴) Ma “(8)” è assurdo, quindi PNC. [RAA]

L’argomentazione è chiara: se vale la negazione del principio di non contraddizione, allora: se qualcosa è un uomo, allora sarà anche non uomo. Se qualcosa è non uomo, allora sarà anche una trireme. Quindi se qualcosa è un uomo, allora è una trireme. Data l’assurdità di una simile proposizione, ne deriva che PNC deve essere necessariamente valido.

Quarto Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della vita pratica

In questo argomento non è necessario presentare una formalizzazione rigorosa. L’idea di Aristotele è la seguente: supponiamo che PNC non sia valido, allora ogni qualità contraria sarà al contempo vera di un medesimo oggetto. Supponiamo ora che un uomo malato debba decidere di curarsi o non curarsi. Se PNC non vale, allora per lui non farà alcuna differenza il curarsi o non curarsi. Ma supponiamo ancora che quest’uomo decida di curarsi, se sceglie ciò, allora non andrà a curarsi da un qualunque artigiano, operaio o bottegaio di altro tipo, bensì andrà da un medico. Pare, dunque, che sul piano pratico vi siano competenza tecniche che la negazione di PNC non può affliggere.
Così come, se un uomo trovandosi dinanzi ad un precipizio d’improvviso dovesse decidere sul da farsi, di certo giudicherà di valore diverso il cadere e il non cadere nel suddetto precipizio.
Quindi: è impossibile agire in conformità con la negazione di PNC.
Quindi: è vero PNC.


∃x(φ)

Teoria dell’evoluzione darwiniana

Charles Robert Darwin (1809-1882) è il padre della teoria dell’evoluzione che, oggi, prende il nome di darwinismo. Egli deve la sua fama alla pubblicazione di uno dei più importanti libri scientifici moderni: L’Origine delle Specie. Principalmente è in quest’opera che Darwin racchiude il nocciolo della sua teoria.
Darwin smette di essere lamarckiano nel 1835, diventa darwiniano nel 1842. Dico che smette di essere lamarckiano nel 1835 perché è in questa data, durante il celebre viaggio sul brigantino “Beagle“, che si accorge che la teoria lamarckiana non può essere corretta; dico che nel 1842 inizia ad essere darwiniano perché in questa data scrive, a matita, un primo abbozzo di trenta pagine che racchiude le sue principali idee sull’evoluzione delle specie.


Tε(Δ)

La teoria lamarckiana sosteneva che le specie si evolvono in relazione all’ambiente in cui vivono e che gli organi vengono selezionati dall’ambiente tramite l’uso o il disuso indotti da questo. Darwin osservò però un fatto: sulle Galapagos, nello stesso arcipelago con lo stesso ambiente e clima per ogni isola, relativamente ad ogni isola v’erano specie (appartenenti ad uno stesso genere) che differivano l’una dall’altra. Vi erano per esempio fringuelli con il becco più pronunciato e grande ed altri fringuelli con il becco più piccolo ed aggraziato. La teoria lamarckiana non poteva spiegare questo fatto ed anzi il sussistere di esso era un controesempio alla teoria (un problema di estensione dei principi della teoria, cioè un problema di applicabilità empirica dei concetti teorici).
Darwin si rende conto che non è l’ambiente, né le abitudini, ad indurre la trasformazione delle specie.
Come variano, dunque, gli individui?
La variazione di un individuo è casuale e fortuita: nessun figlio è identico al progenitore. Anzi, fra due generazioni v’è sempre un elemento di differenziazione di caratteri — quanto meno nel fenotipo, ossia nella struttura morfologica esterna dell’organismo, visibile ad occhio nudo. Appare dunque già un primo punto fondamentale rispetto al lamarckismo: (α) le variazioni sono individuali. L’evoluzione darwiniana si applica dapprima al singolo individuo, poi può estendersi ad altri individui, dando vita ad una varietà di una specie, ed infine la varietà (se portatrice di caratteri abbastanza stabili) può ergersi al rango di specie.

(1) Nella filiazione, il discendente presenta variazioni rispetto al progenitore.
(1.1) Le variazioni sono individuali.

I punti appena evidenziati sono il principale motivo di rottura fra Lamarck e Darwin.
Queste variazioni sono casuali. Non v’è un programma teleologico, ossia con un fine, affinché compaiano determinate variazioni ben adatte all’ambiente che le circonda. In altre parole: si può variare sia in senso negativo sia in senso positivo, sia disponendo di qualche funzione, sia non disponendone. Ma se gli individui variano casualmente, come si farà a determinare chi varia bene e chi varia male? In altre parole: come distinguiamo un adattamento (variazione positiva) da un non-adattamento (variazione negativa)? A determinare ciò sarà la (β) selezione naturale. Definiamo da subito questo nuovo concetto:

(Def¹) Selezione naturale = Conservazione dei caratteri utili alla sopravvivenza.
(Def²) Selezione naturale = Eliminazione dei caratteri dannosi per la sopravvivenza.

Le due definizioni ovviamente si implicano vicendevolmente. In cosa consiste questa selezione naturale? Per Darwin, nel momento in cui un individuo è portatore di date caratteristiche (o caratteri) utili alla sua sopravvivenza, allora questo individuo riesce a ottenere un vantaggio rispetto ad altri individui all’interno del suo habitat. Per esempio: se due maschi di cervo devono competere per una stessa femmina, quello con le corna più grandi riuscirà ad avere la meglio su quello con le corna più piccole e dunque riuscirà a fecondare la femmina, distribuendo i suoi geni più diffusamente di quanto non faccia quello con le corna piccole. A lungo andare, i maschi con le corna grandi vinceranno la competizione con quelli con le corna più piccole, finché o non resteranno se non pochi esemplari con le corna piccole, o non ne resteranno affatto (questo è un caso di competizione intraspecifica, perché lottano l’un con l’altro due esemplari della stessa specie). Pertanto, i maschi dalle corna grandi verranno selezionati positivamente (ossia i loro caratteri verranno conservati nei discendenti), invece i maschi con le corna piccole verranno delezionati, ossia selezionati negativamente. Ma possiamo pensare anche ad un esempio di competizione interspecifica, ossia fra due individui di due specie differenti: la lotta per l’esistenza fra il leone e la zebra, o fra gli uccelli e gli insetti di cui si cibano, o fra le piante differenti che cercano di occupare lo stesso habitat.
Ci si potrebbe chiedere: qual è la causa che determina il sussistere della selezione naturale? Questa causa è la stessa lotta per l’esistenza (e, quindi, per la sopravvivenza). Da cosa è generata questa lotta? Dalla mancanza di risorse sufficienti per tutta la popolazione dei nuovi nati. La popolazione di una specie cresce infatti geometricamente — significa che raddoppia ogni venticinque anni —, ossia più velocemente di quanto non possano fare le risorse alimentari, che crescono invece in progressione aritmetica (quindi più lentamente di quella geometrica). Chiaramente se non tutti possono usufruire delle risorse per sopravvivere, allora non sopravviveranno tutti. Se non sopravvivono tutti, allora vi sarà una lotta per accaparrarsi le risorse fra i membri della stessa nicchia ecologica. I vincitori di questa lotta saranno i più adatti alla vita in quella suddetta nicchia. (La sopravvivenza del più adatto è la sopravvivenza del sopravvissuto, ossia una tautologia: una proposizione banalmente sempre vera).
Infine, l’altro caposaldo della teoria darwiniana è (γ) l’ereditarietà dei caratteri. Darwin non conosceva le leggi di Mendel (che furono scoperte successivamente alla pubblicazione de L’Origine delle Specie), tuttavia a lui bastava osservare che se dal progenitore X al discendente Y si fossero presentate variazioni nei caratteri e tali caratteri fossero poi stati trasmessi da Y alla sua prole Z, allora queste variazioni erano ereditarie.


L’esempio della giraffa

Riprendiamo dunque il caso della giraffa: non è vero che essa è stata dotata di un collo lungo in seguito ai suoi ripetuti sforzi di giungere al fogliame sui rami più alti. Piuttosto sono nati via via individui che presentavano variazioni sempre più marcate; individui col collo gradualmente più lungo e con parti correlatamente più sviluppate per sostenere un peso crescente. Infine, la variazione si sarà assestata in un individuo qualunque. Questo individuo mutante si sarà accoppiato con giraffe col collo più corto del suo. Generando un certo numero di figli, almeno uno di essi su un numero determinato avrà ereditato il collo lungo del genitore. Accoppiandosi questo secondo individuo mutante a sua volta avrà trasmesso il gene in altri individui ancora in numero sempre crescente. Finché gli individui dal collo lungo si sono iniziati ad accoppiare fra loro e avranno reso la variazione stabile, formando così una specie incipiente. (Bisogna tener presente che pur mescolandosi due individui della stessa specie ma con fenotipo differente, il genotipo dell’individuo variante non viene diluito: i geni che determinano il collo lungo non vengono diluiti dalla mescolanza fra individui col collo corto e individui col collo lungo. Su cinque nuovi nati, uno avrà ereditato la mutazione e gli altri quattro avranno ereditato la “forma consueta”).


La teoria dell’evoluzione darwiniana è quindi formata da tre sottocategorie:

Evoluzione ⇒ Variazione casuale
Evoluzione ⇒ Selezione naturale
Evoluzione ⇒ Ereditarietà dei caratteri

Sinteticamente possiamo formulare, facendo riferimento alle lettere greche usate in precedenza per denotare le sottocategorie dell’evoluzione, la suddetta categorizzazione come segue:

•   ε ⇒ (α ∧ β ∧ γ)

Se c’è evoluzione, allora ognuna delle tre sottocategorie si darà.
Perché, dunque, vi è un’origine comune delle specie? Perché se si dimostra che vi è evoluzione di una specie da un’altra, allora tutte le specie saranno il risultato di successive variazioni e modificazioni via via selezionate. Le differenze fra queste saranno dovute semplicemente alla divergenza dei caratteri ed al corrispettivo adattamento selezionato per uno specifico habitat. Inoltre, quanto più ci si avvicina al progenitore comune, tanto più vi saranno caratteristiche generali comuni fra le specie ed i generi, fra questi e le famiglie, fra queste e gli ordini, fra questi e le classi, fra queste ed i phyla, fra questi ed i regni e fra questi ed i domini degli esseri che definiamo viventi.

Teoria dell’evoluzione lamarckiana

Non è semplice parlare di Teoria dell’evoluzione, soprattutto perché di teorie dell’evoluzione ce ne sono state molteplici — non tutte equivalenti, anzi, per lo più ognuna con le sue peculiarità strutturali. V’è stata, per esempio, la teoria dell’evoluzione di Cuvier, poi quella di Linneo, poi quella di Buffon, poi di Erasmus Darwin, poi di Lamarck ed infine di Darwin (per tacere delle teorie successive, come la teoria degli equilibri punteggiati di Gould).
Tuttavia, sono le teorie di Lamarck e di Darwin ad essere considerate quelle che più d’ogni altra hanno dato il via alla biologia evoluzionistica — o alla biologia tout court. È da queste teorie, infatti, che un’idea di evoluzione biologica prende forma nel modo più compiuto; un’evoluzione senza Dio, senza volontà personificate, senza cause finale. Un’evoluzione il cui unico motore è la causa efficiente. In altre parole: la trasformazione (termine lamarckiano) o la variazione (termine darwiniano) avvengono se e solo se c’è una causa organica chimico-fisica che le sostiene. Entrambi gli scienziati sarebbero d’accordo nel dire che: la modificazione è causa della generazione di nuove specie (lascerò sottinteso questo punto nel seguito dell’esposizione).
In questa prima parte mi occuperò della teoria dell’evoluzione di Lamarck.


Tε(Λ)

La teoria dell’evoluzione (o meglio, della trasformazione) di Jean-Baptiste de Lamarck (1744-1829) la si ritrova nell’opera Philosophie zoologique, pubblicata nel 1809. Egli dapprima aveva riordinato il dominio dei Vermi e degli Insetti (per Cuvier, ad esempio, il granchio era ancora un insetto), dividendolo in esseri provvisti di colonna vertebrale ed in esseri sprovvisti di essa. Nasceva l’odierna classificazione in: vertebrati e invertebrati.
In seguito, Lamarck si accorse che il vecchio argomento teologico non funzionava (se c’è un orologio, allora c’è un orologiaio. Dunque: se c’è una natura ordinata di forme, deve esserci un Dio che le abbia create). Egli, anzi, rovesciò l’argomento proponendo una versione più semplice: aggregatesi fortuitamente in una commistione vari agenti inorganici, la combinazione di essi ha prodotto le prime semplicissime forme di materia organica. 
Lamarck a questo punto, però, si chiede: pur supponendo che le prime forme organiche fosse talmente semplici quanto batteri o funghi, come hanno poi potuto trasformarsi via via fino a giungere agli organismi tanto più complessi quanto sono gli attuali viventi? La risposta che Lamarck dà è: l’ambiente ha giocato un ruolo fondamentalmente istruttivo sulle prime forme e via via su tutte le altre che per successive trasformazioni si sono succedute l’una all’altra.
In altre parole: l’ambiente ha indotto la trasformazione, dando il via alla seguente successione:

(L)   Mod. Ambientale ⇒ Mod. Bisogni ⇒ Mod. Comportamentale ⇒ Mod. Abitudini ⇒ Mod. Anatomica ⇒ Mod. Fisiologica

Nell’enunciato (L) è condensata la teoria dell’evoluzione di Lamarck: una modificazione ambientale determina un cambiamento nei bisogni dell’entità biologica, a cui segue un cambiamento nei comportamenti per soddisfare questi nuovi bisogni, quindi anche un cambiamento nelle abitudini comportamentali, a cui segue infine una modificazione nella forma fisica e dunque una modificazione fisiologica.
Facciamo qualche esempio: la giraffa. Prima c’erano gli antenati della giraffa, i quali non avevano il collo lungo. L’ambienta ha tuttavia iniziato a mutare: magari sul terreno v’erano poche fonti vegetali di cui la giraffa dal collo corto potesse nutrirsi, però sui rami degli alberi, più in alto, v’erano rigogliosi fonti di nutrimento per l’animale. Lamarck presuppone che questo cambiamento influisca sui comportamenti e le abitudini della giraffa, finché, struggendosi per arrivare più in alto, questa acquisì negli esemplari successivi un collo via via sempre più lungo per brucare il fogliame più in alto.
Ma Lamarck, ad (L) aggiunge anche altre due leggi (di cui non è sua la paternità): (a) la legge dell’uso e del disuso, (b) la legge dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti.
La legge (a) dice che, quanto più un animale usa un organo, tanto più questo si svilupperà e quanto più un animale non fa uso di un organo, tanto più questo si atrofizzerà. La legge (b), invece, dice che dagli individui che hanno acquisito (o perduto) una certa caratteristica funzionale la progenie erediterà i suddetti caratteri funzionali.
La legge (a) è stata già esposta implicitamente in (L), la legge (b) definisce ulteriormente il fatto che le giraffe che avranno acquisito il collo lungo in seguito all’aumentato uso dei muscoli erettili del collo per giungere più in alto, trasmetteranno alla discendenza un collo già più lungo del normale.
Ma l’evoluzione lamarckiana non procede in modo unidirezionale; anzi gli esseri si trasformano sia per complessificazione sia per semplificazione. Prendiamo gli ultimi due esempi: la talpa ed il bradipo.

  1. Se la giraffa si è evoluta per complessificazione (poiché le sue trasformazioni sono avvenute per aumentato uso di un organo), la talpa si è invece evoluta per semplificazione. La talpa è divenuta cieca: perché? Perché adattandosi ad un ambiente sotterraneo, dove la luce scarseggia, l’utilizzo dell’organo della vista è risultato non soltanto infruttuoso ma addirittura inutile. In più, il continuo contatto con la terra avrebbe portato la talpa ad avere continue congiuntiviti ed infiammazioni dell’organo della vista, qualora fosse stato usato. Essendo inutile (o dannoso) per l’ambiente in cui la talpa sopravvive, l’occhio è andato atrofizzandosi per disuso, sicché la talpa si è evoluta per semplificazione organica.
  2. Il bradipo si è trasformato sia per uso sia per disuso. Osservandolo, vediamo che esso è un animale lento e goffo, sonnolente, come se fosse in un perenne stato letargico. Tuttavia il bradipo ha braccia molto forti e al posto delle “mani” possiede una sorta di serramanico che usa per aggrapparsi sugli alberi. Il bradipo, cioè, è un esempio vivente di trasformazione avvenuta contemporaneamente sia per uso sia per disuso: per vivere sugli alberi e non rischiare di cadere dai rami, ha ridotto al massimo la possibilità dei movimenti (trasformazione per disuso) e le mani si sono trasformate in una sorta di uncini affinché la presa sui rami fosse più salda e sicura (trasformazione per uso).

La teoria di Lamarck consiste quindi delle leggi della modificazione a partire dall’ambiente, più le leggi di uso/disuso e dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti; in formule possiamo scriverla così: (L)+[(a)+(b)] = Tε(Λ).

Com’è stato possibile?

Com’è stato possibile? Quand’è che sono giunto a questo? Quand’è che mi sono perso così? — Quando ho perso te, mi dirai. È stato tutto sprecato, la mia stessa memoria ormai ripudia il ricordo consapevole di ciò che sono stato. Non è stato altro che un susseguirsi involontario di fotogrammi a tenermi aggrappato alla vita. Ad una vita che già non mi apparteneva quando ti conobbi.
Ognuno dovrebbe imparare a riconoscere che nel migliore dei casi, non abbiamo accesso se non a brevi attimi di gioia. Facile farsi illusioni, credendo che questi fatti siano il coronamento della propria persona. — Farabutti! Farabutti tutti coloro che si lasciano ingannare; ed io stesso non sono forse il primo dei farabutti!? Non dovrei forse cercare in me stesso la giusta punizione sì da punire universalmente tutti gli altri!? D’altronde, non dovrebbe ogni uomo, per considerarsi buono, ritenersi il campione morale della sua specie?
Ebbene, iniziamo a cercare una soluzione! — Da oggi, guardare prima di tutto alle conseguenze delle proprie azio-, no, delle proprie illusioni!


Ottobre 14, 2017;
∃x(φ) ⇒ ◊
∃x(φ)