Templi di Paestum

Paestum moon 01.jpg

Il Parco Archeologico di Paestum aperto straordinariamente anche nelle ore notturne! In questa foto è possibile ammirare la Luna Storione — così chiamata perché anticamente si credeva che nel periodo di agosto nel giorno del plenilunio, che quest’anno coincideva col ferragosto, abbondassero gli storioni, piccoli pesci d’acqua dolce e salmastra particolarmente indicati per la produzione del caviale.
In foto: particolare delle colonne doriche del tempio di Hera e Luna Storione.

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I miei amati monti

Monte Finestra BW.JPGPaesaggio BW 1.JPG

Sottile differenza fra l’umano e l’inumano,
dove l’inumano rivela l’umano a chi, ormai
inumano, deve ritornare dove tutto iniziò.

Che cos’è un sillogismo?

Che cos’è un sillogismo? Un argomento formato da tre proposizioni tali che: le prime due hanno fra loro un termine in comune e due termini differenti, mentre la terza proposizione contiene i due termini differenti che appartenevano alle prime due. Le prime due proposizioni sono le premesse, la terza è la conclusione delle premesse.
Intuitivamente un sillogismo ha la forma:

M – P    (Premessa 1)
S – M    (Premessa 2)
———
S – P    (Conclusione)

La sillogistica è una logica dei termini (term logic), cioè la validità di un sillogismo è sensibile alla disposizione ed al tipo dei termini che occorrono in esso. I termini M, P ed S sono fra loro differenti e li abbiamo così chiamati in modo non casuale. M è il termine medio, perché compare in entrambe le premesse; P è il termine maggiore, ossia il predicato; S è il termine minore, cioè il soggetto. S e P sono anche detti essere gli estremi. (N.B.: l’ordine di M, P ed S nelle premesse può variare, invece nella conclusione l’ordine da rispettare è sempre che il predicato sia preceduto dal soggetto).
Ovviamente la proposizione dove sta il termine maggiore è la premessa maggiore, così come la proposizione dove sta il termine minore è la premessa minore. (Il predicato è il termine maggiore perché ha estensione più ampia rispetto al soggetto: un predicato può essere attribuito a molti soggetti, ma un soggetto può avere un numero limitato di predicati e appartiene solo a se stesso; in altre parole: se Paolo ha i capelli scuri allora il predicato “avere i capelli scuri” non appartiene solo a Paolo ma anche a molti altri soggetti, invece l’essere quello specifico Paolo appartiene solo a quel Paolo).
Veniamo ora alle proposizioni del sillogismo. Esse possono essere di quattro tipi: (a) universale affermativa, (e) universale negativa, (i) particolare affermativa, (o) particolare negativa. Usiamo ora le vocali in parentesi per indicare in che rapporto sono i termini S, P, M. Cioè:
S a P = Ogni Salernitano è una Persona.
S e P = Nessuno Stambecco è un Pinguino.
S i P = Qualche Salernitano è una Persona.
S o P = Qualche Stambecco non è un Pinguino.
In altre parole: le prime due proposizioni attribuiscono un predicato a tutti (o a nessuno) dei soggetti in questione, le ultime due invece attribuiscono un predicato a qualcuno e a qualcuno no. L’universalità o la particolarità sono dette essere la quantità del sillogismo; l’affermazione o la negazione determinano la qualità di esso. Fra queste proposizioni valgono delle relazioni, esemplificate dal celebre quadrato aristotelico.

Risultati immagini per quadrato aristotelico

L’universale affermativa si contraddice con la particolare negativa e viceversa (cioè, se l’una è vera allora l’altra è falsa e viceversa). L’universale affermativa è contraria all’universale negativa (cioè, possono essere entrambe false ma non entrambe vere). La particolare affermativa è subcontraria con la particolare negativa (cioè, possono essere entrambe vere ma non entrambe false). La subalternità è data dal fatto che le universali implicano le corrispettive particolari.

Possiamo costruire, ora, vari sillogismi. Alcuni sono anche divertenti, del tipo: “Se io so nuotare ed i pesci sanno nuotare, allora io sono un pesce”. Divertenti, però, lo sono finché non si coglie il motivo per cui sono sillogismi non validi. Ed è di questa nozione che dovremo occuparci ora: quali sono i sillogismi validi e quali quelli non validi?
Diciamo, innanzitutto, che un sillogismo è valido se e solo se la conclusione segue dalla premesse. In altri termini: data la verità delle premesse non può che seguire la verità della conclusione (la verità e la validità, comunque, sono due nozioni differenti. Si può costruire un sillogismo valido pur disponendo di premesse false: se Roma è capitale d’Irlanda e il Duomo di Firenze è a Roma, allora il Duomo di Firenze è nella capitale d’Irlanda). Notiamo poi due fatti metateorici: un sillogismo per essere valido deve contenere almeno un’universalità (di qualunque qualità) ed almeno una premessa deve essere di qualità affermativa (se si negasse tutto di ogni termine, allora fra essi non sussisterebbe alcuna relazione di predicazione).
Beh ma se ci chiediamo quali sono i sillogismi validi, allora ciò comporta che ci chiediamo anche: quali sono i sillogismi? Ossia, quanti tipi di sillogismo esistono? I sillogismi si dividono per figure (ogni figura è diversa dall’altra per via della disposizione differente dei termini nelle premesse), se ne contano quattro ma Aristotele (e tanto basta ai nostri scopi attuali) ne esplicitò soltanto tre. Esse sono le seguenti:

I figura       II figura      III figura
M – P             P – M           M – P
S – M              S – M           M – S
S – P               S – P             S – P

Nella I figura il medio si inverte: è prima soggetto e poi predicato. Nella II figura il medio è sempre predicato. Nella III figura il medio è sempre soggetto. Ci sono 256 sillogismi, ma la classe dei sillogismi validi è ben meno vasta: sono soltanto 24 i sillogismi validi. Di questi 24 ne enunceremo soltanto 14 (i sillogismi principali dalla I alla III figura). Come faccio però a ricordare quali sono quelli validi? I logici scolastici, per fortuna, hanno dato a questi schemi d’argomento dei nomi, al cui interno sono presenti le vocali che inizialmente abbiamo adottato per il quadrato aristotelico, per facilitarne la memorizzazione. Cioè:
I figura: Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
II figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
III figura: Datisi, Darapti, Disamis, Felapton, Ferison, Bocardo.
Se ci si fa caso, un esempio di Barbara è già stato formalmente istanziato nell’introduzione. In pratica, invece, un’istanza di esso potrebbe essere la seguente:

BARBARA:
Ogni italiano è europeo.
Ogni napoletano è italiano.
—————————————
Ogni napoletano è europeo.

Intuitivamente ci sembra che sia un sillogismo valido. Come possiamo, però, dimostrare che lo sia? Beh non possiamo occuparci ora della dimostrazione dei sillogismi, per adesso ci basta soltanto una loro velocissima presentazione. Tuttavia per dimostrare questi di I figura si potrebbe usare o un po’ di teoria degli insiemi (diagrammi di Eulero-Venn) oppure li si potrebbe dimostrare per assurdo.
Continuiamo, invece, con l’esposizione degli altri sillogismi.

CELARENT                                
Nessun felino ha le ali.
Ogni leone è un felino.
———————————
Nessun leone ha le ali.

FERIO
Nessun animale è un alieno.
Qualche cane è un animale.
——————————————
Qualche cane non è un alieno.

(Lasciamo Darii ai volenterosi! Tanto è analogo ai precedenti). Vediamo ora prima un sillogismo di II figura e poi uno di terza figura (gli altri sono analoghi, se vi va potete divertirvi a inventarne quanti ne volete seguendo i nomi che sono stati esibiti poc’anzi).

BAROCO (II figura)
Ogni genitore ha un figlio.
Qualche uomo non ha figli.
———————————————
Qualche uomo non è genitore.

FERISON (III figura)
Nessuna pietra è un animale.
Qualche pietra è un oggetto materiale.
————————————————————
Qualche oggetto materiale non è un animale.

Si noti, infine, che alcuni di questi sillogismi sono validi se e solo se i termini in questione non sono vuoti, ossia solo se l’oggetto che il termine denota esiste davvero. Se così non fosse, allora alcuni sillogismi (cioè quelli in cui almeno una delle tre proposizioni ha quantità particolare) non sarebbero validi. Di norma, per evitare questo spiacevole inconveniente, assumiamo il cosiddetto assioma di Aristotele: per ogni termine M, c’è sempre almeno un individuo che appartiene all’estensione di M. Più formalmente ma equivalentemente: “M i M” è vera per ogni M.


∃x(φ)

 

 

 

Non numerabilità dei reali

I numeri reali li conosciamo tutti, sono quei numeri tipo Pi greco (π = 3,141592…).
La cosa interessante di questi numeri è che non sono numerabili. Ora, se indichiamo l’insieme dei numeri reali con la lettera ℜ, allora diciamo che ℜ è numerabile se e solo se ogni elemento appartenente ad esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (1, 2, 3, …). Che cos’è la corrispondenza biunivoca? Niente di difficile, significa solo che: se ci immaginiamo i numeri disposti in ordine crescente su una retta, allora ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo numero naturale e viceversa. Possiamo immaginare la situazione così:

1, 456830 ↔ 1
1, 485003 ↔ 2
2, 068428 ↔ 3
2, 858003 ↔ 4
3, 264593 ↔ 5

E così via ad infinitum. Il punto è: instaurare una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi (quello dei numeri naturali e quello dei numeri reali) è possibile?
Secondo Georg Cantor (1845-1918) la risposta è: no, non è possibile. I numeri reali non sono numerabili. Detto altrimenti: nell’insieme dei numeri naturali diciamo che la serie dei numeri è discreta, ossia a 1 segue un 2, a 2 segue subito 3, a 3 segue subito 4 e così via. Nell’insieme dei reali, invece, la serie dei numeri è continua: fra 1 e 2 ci sono infiniti numeri! Cioè: 1, 00000 < 1, 00001 < 1, 00002 < … < 2.
Ma come si fa a dimostrare che i numeri reali, quindi, non sono numerabili? Eh la dimostrazione è anch’essa piuttosto semplice e fa uso del metodo diagonale (o diagonalizzazione) inventato dallo stesso Cantor.
Dimostrazione: per assurdo
Supponiamo che l’insieme dei reali sia numerabile e scriviamo:
(1) Num(ℜ)
Se questo insieme è numerabile, allora lo sarà anche l’intervallo fra 0 e 1 appartenente ai numeri reali, cioè la serie: 0, 00000 < 0, 000001  <  … <  1. Scriviamo quindi:
(2) Num([0, 1])
Se questo intervallo è numerabile, allora possiamo indicare tutti i numeri decimali all’interno di questo intervallo disponendoli in una matrice (tabella). Chiamiamo questi numeri compresi fra 0 e 1 con la lettera greca α, allora:
(3) < α1, α2, α3, α4 > ∈ ℜ
α1 = 0, 8 2 1
α2 = 0, 3 3 2
α3 = 0, 4 3 8
α4 = 0, 4 5 8 1
Per semplicità fermiamoci al quarto numero compreso fra 0 e 1, supponendo di averli enumerati tutti. Adesso, però, possiamo usare il metodo della diagonale di Cantor e prendere le cifre che ho evidenziato in grassetto per costruire un nuovo numero che chiamiamo β, che avrà la forma:
(4) β = 0, 3 8 4 1
Questo numero, appartiene ancora all’insieme dei numeri compresi fra 0 e 1 e sarà uno dei numeri che, presumibilmente, viene dopo α4. Tuttavia possiamo definire adesso un nuovo tipo di numero, β*, tale che questo β* differisca per costruzione da ogni altro numero appartenente all’intervallo fra 0 e 1. Come? Così:
(5) β* = ∀∈ β → n +1.
Ossia, possiamo costruire questo numero β* non compreso nella precedente tabella aggiungendo un +1 ad ogni numero decimale di β.
(6) β* = 0, 4 9 5 2
Questo nuovo numero, per come lo abbiamo costruito, differisce al più per una cifra da ogni altro numero che esiste nella tabella. Questo numero appartiene all’intervallo [0, 1]. Eh ma noi avevamo supposto che quell’intervallo fosse già stato enumerato completamente! Ergo: siamo caduti in un assurdo: pur supponendo di aver un intervallo completamente enumerato, esiste un numero non elencato nell’enumerazione di quell’intervallo. Quindi: l’intervallo fra 0 e 1 non è numerabile!
(7) ¬Num([0, 1])
E a maggior ragione se una sua parte non è numerabile, allora non sarà numerabile neanche l’intero insieme dei numeri reali. Quindi:
(8) ¬Num(ℜ).

QED

La dimostrazione è conclusa e, in modo ingegnoso ma semplice, siamo riusciti a dimostrare il teorema della non numerabilità dei numeri reali.


∃x(φ)

Come si sceglie il male?

La vita mette davanti a situazioni spiacevoli. Spesso la scelta non è fra due opzioni di cui una è buona e l’altra cattiva. Spesso la scelta è fra due situazioni entrambe spiacevoli. Ed allora, se sei fortunato, puoi scegliere il male minore. Ma se sei sfortunato, entrambe le scelte ti procureranno lo stesso grado di dolore e tristezza. E tu sarai obbligato a scegliere. — Dovrai scegliere il tuo stesso male, un male che hai creato tu a causa del tuo orgoglio o a causa di una generica questione di principio, o magari perché starai cercando di fare la cosa giusta.
Sarai abbastanza coraggioso per farlo?

Se il male minore non c’è, come fai a scegliere fra l’uno e l’altro male?
Forse per scegliere il male, è necessario diventare maligni?

∃x(φx)

Teorema di Robinson

Il Teorema di Robinson (1956), anche detto teorema della somma di teorie, ci dice in che modo due teorie possano unirsi. Stabilisce, cioè, le condizioni affinché due teorie differenti (ma che abbiano almeno qualcosa in comune) possano unirsi per formare un’unica teoria unificata. Perché è importante questo teorema? Beh, se si pensa che la fisica quantistica (o, più specificatamente: la teoria della relatività e la meccanica quantistica) non è altro che un insieme di teorie matematiche fra loro non necessariamente non contraddittorie, allora il teorema di Robinson ci indica la strada da percorrere affinché si possa giungere ad una teoria del tutto (o teoria fisica unificata).
Veniamo ora nel vivo del teorema:

Enunciato: T e T* sono consistenti se e solo se sono compatibili. Dove compatibili significa che: (I) T è consistente; (II) T* è consistente; (III) non esiste una formula C tale che il linguaggio in cui è formulata C è incluso o uguale all’intersezione del linguaggio di T con il linguaggio di T* e: T dimostra C e T* dimostra ¬C.

[Ho usato il segno ¬ per indicare la negazione di C, quindi ¬C equivale a non-C].
Spieghiamo meglio cosa significa l’enunciato. Due teorie differenti, che chiamiamo T e T*, sono non contraddittorie (ossia, consistenti fra loro) soltanto quando esse sono compatibili. Ovviamente se le due teorie sono inconsistenti (ossia si contraddicono a vicenda), allora non sono compatibili: se una teoria dimostra A ed una dimostra non-A, allora A sarà sia vera sia falsa nella loro somma. Ma questo violerebbe il principio di non contraddizione, quindi è assurdo che si verifichi una tale evenienza. Per essere, invece, compatibili le due teorie devono essere entrambe, se considerate singolarmente, non contraddittorie (ossia non si dà il caso che T dimostri B e non-B,  e lo stesso vale per T*). In più, per essere sommate, bisogna che esse abbiano almeno qualcosa in comune nel loro linguaggio (ossia nel loro apparato concettuale diremmo in termini meno formali). Questo è un requisito necessario, altrimenti potremmo sommare una teoria che parla di atomi ed una che parla di Dio. Ma così confonderemmo una teoria scientifica con una teologica! Noi invece vogliamo restare in un campo ristretto, sicché si possano sommare teorie fra loro correlate.
Si noti, poi, che le due teorie sono consistenti fra loro se e solo se i loro assiomi di partenza sono consistenti.
Possiamo riscrivere (III) così:

  • (III)*   Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)].

Bene, bell’enunciato sicuramente. Ma è vero o falso? Per scoprirlo è necessaria una dimostrazione dell’enunciato. La dimostrazione si conduce sciogliendo il “se e solo se” nei due versi, ossia mostrando che il primo termine implica il secondo e, viceversa, che anche il secondo implica il primo.

Dimostrazione:
Dim 1: Se T e T* sono consistenti, allora sono compatibili. Questo verso della doppia implicazione è banale: se T e T* sono entrambe consistenti allora le condizioni (I) e (II) valgono. Quindi T non dimostra contraddizioni e neanche T* ne dimostra. Supponiamo ora che per assurdo le due teorie non siano compatibili, allora ciò significa che T+T* dimostra una contraddizione. Ma questo vuol dire che una fra T e T* è inconsistente! Ma non avevamo supposto fossero entrambe consistenti? L’ipotesi che due teorie sono consistenti ma incompatibili ci conduce dunque all’assurdo, quindi è falsa. Sarà allora vero che se due teorie sono consistenti allora esse sono compatibili.
Dim 2: Se T e T* sono compatibili, allora T e T* sono consistenti. Si procede con una dimostrazione per assurdo, cioè assumiamo che le due teorie siano compatibili ma che non siano consistenti.
(Userò il segno ⇒ per indicare che le due teorie dimostrano una certa proposizione. Userò poi il segno ⊥ per indicare una contraddizione e simbolizza l’assunzione “le due teorie, messe insieme, sono contraddittorie”; in altre parole equivale al fatto che si sta dimostrando l’enunciato per assurdo. Userò il segno ≡ per indicare che due forme sono equivalenti).
(o) T e T* sono compatibili.
(1) T + T* ⇒ ⊥
(2) Siano A gli assiomi di T e B gli assiomi di T*.
(3) A, B ⇒ ⊥
(4) ⇒ A→[B→(⊥)]   [(3) e (4) sono equivalenti; ho solo riscritto (3)]
(5) ⇒ A→ ¬B            [Se B implica l’assurdo, allora è vera non-B]
(5.1) A→¬B è vera anche se è falso A, cioè ¬A è vero, ed è vero ¬B.
(6) Dato (5.1), si danno i tre seguenti casi:
(6.1)  ⇒¬A ma per (2)   T ⇒ A & ¬A.
(6.2)  ⇒ ¬B ma per (2)  T* ⇒ B & ¬B.
(6.3)  Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)] e dunque:
          (6.3.1) [⇒A → C] ≡ [T ⇒ C].
          (6.3.2) [⇒ C → ¬B] ≡ [⇒ B → ¬C] ≡ [T* ⇒ ¬C]

QED

Poiché i sottocasi di (6) hanno condotto all’assurdo — i primi due perché sono in contraddizione con gli assiomi e l’ultimo, coi rispettivi altri due suoi sottocasi, perché dice che le due teorie T e T* dimostrano rispettivamente C e non-C — allora la negazione del teorema è falsa perché contraddittoria. Quindi l’enunciato del teorema è necessariamente vero.