Che cos’è un numero naturale?

Non è facile definire un numero naturale. Certo qualcuno, pragmaticamente, potrebbe dire: “Un numero naturale è uno dei numeri che iniziano per 0, 1, 2, …”. Bella risposta, almeno intuitivamente. Ma la domanda non era “quanti e quali sono i numeri naturali?”, bensì quale fosse la definizione di un numero naturale. In altre parole: non vogliamo un elenco di numeri naturali, vogliamo prima sapere quali siano le proprietà che li caratterizzano. Ossia la loro natura. A fornirci la risposta è stato il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) che ha definito l’assiomatizzazione standard di tali numeri nel suo lavoro: “Arithmetices principia, nova methodo exposita”, pubblicato nel 1889 .
Che cos’è, dunque, un numero naturale? Sappiamo che ogni genere di numeri fa parte di un insieme ed è in un insieme contenuto. L’insieme (o il dominio) dei numeri naturali viene per convenzione chiamato “Insieme N“. Diremo che un numero x è naturale se e solo se x ∈ N. Se x appartiene all’insieme, o è un elemento dell’insieme, N, allora x è un numero naturale. Cioè si deve verificare la seguente condizione:

= {x}

La rappresentazione è intuitiva. Abbiamo definito come un insieme con un unico elemento. “= {1}” è un insieme formato da soli numeri naturali per esempio. Potremmo anche scrivere così:

  1. = {x, y, z, …, n}
  2. = {1, 2, 3, …, 1938}

1. e 2. sono perfettamente equivalenti, possiamo dire che 2. è un’istanza di 1, cioè 2. è l’esempio pratico dell’esempio formale 1. Fatto vedere ciò, però, ancora non siamo giunti ad individuare le proprietà che fanno sì che questi numeri siano naturali. Abbiamo, infatti, semplicemente mostrato un elenco di numeri, ora vogliamo sapere quali siano i criteri per i quali far rientrare un numero x sotto l’insieme dei numeri naturali.
Supponiamo che ci siano dei numeri naturali x, y, z, allora le condizioni (o proprietà) di base che essi devono soddisfare sono:

(1)   0 è un numero naturale.
(2)   Per ogni numero naturale, x = x.
(3)   Per ogni numero naturale, (x = y) ⇒ (y = x).
(4)   Per ogni numero naturale, [(x = y) & (y = z)] ⇒ (x = z)
(5)   Per ogni x e y, se y è un numero naturale e (x = y), allora anche x è un naturale.

(1) è un’assunzione ed indica che 0 è una costante. (2)-(5) indicano le proprietà equazionali dei numeri naturali, rispettivamente essi sono: riflessivi, simmetrici, transitivi e chiusi rispetto all’equazione (cioè se due numeri sono uguali fra loro e di uno dei due sappiamo che è un naturale, allora possiamo dedurre che anche l’altro sia un naturale). Aggiungiamo ora le ultime condizioni che specificano invece le proprietà aritmetiche.

(6)   Per ogni numero naturale x, S(x) è un numero naturale.
(7)   Per ogni naturale x e y, (x = y) se e solo se [S(x) = S(y)].
(8)   Per ogni numero naturale, S(x) = 0 è falso.

Le condizioni (6)-(8) sono ciò che davvero individua i numeri in quanto naturali. La condizione (6) ci dice che il successore di un numero naturale è ancora un numero naturale. Per cui:

  1. (1 ∈ N) ⇒ S(1) ∈ N
  2.    S(1) ∈⇒ S(S(1)) ∈ N

In 1. ci viene detto sostanzialmente che il successore di 1, ossia 2, fa ancora parte dei numeri naturali, così il successore del successore di 1, ossia 3, fa ancora parte dei numeri naturali.
La condizione (7) a tal punto è banale: due numeri naturali sono uguali se e solo se anche le loro successioni lo sono. Ossia:

(1 = 1) ⇔ (2 = 2)
(1 = 3) ⇔ (2 = 4)

Infine la condizione (8) è forse la più intuitiva: nessun numero ha come successore 0. Ossia: 0 è il primo dei numeri naturali e dunque non è il successore di nessun numero, perché non ci sono altri numeri naturali prima di esso!
Ecco fatto, siamo riusciti ad individuare tutti i numeri naturali per mezzo delle condizioni (1)-(8).


COROLLARIO: Come si generano i numeri naturali?

La generazione dei numeri naturali si dà semplicemente aggiungendo una condizione, che chiamiamo, in continuità con le precedenti condizioni, (9):

(9) Se è un insieme tale che:

  • 0 è un elemento di N,
  • Per ogni numero n in N, si ha che S(n) è anch’esso in N,

Allora contiene ogni numero naturale.

La condizione (9) è anche detta “assioma dell’induzione”. A partire cioè da soli due elementi (lo zero ed il successore di un numero, che potrebbe appunto essere anche il successore di zero) e dalle loro proprietà possiamo derivare l’esistenza e la costruzione dell’intero insieme dei numeri naturali.



∃x(φ)

 

 

Nei tuoi occhi, tutti i miei desideri

Ero solo davanti alla finestra. Non mi accorsi nemmeno di quello che stava accadendo. Non vedevo altro che un cielo blu, blu come non lo avevo mai visto. O forse sì, forse lo avevo già visto da qualche parte: era blu come i tuoi occhi celesti. Ma io cosa avrei potuto fare? Confessai. Confessai a te, che vivevi dentro di me, che amavo quel blu, perché profumava di te. Erano le orme che tu lasciavi nel mondo per dirmi che mi volevi. Che volevi me al tuo fianco. Erano le orme che io, da cattivo cacciatore, non riuscivo più a seguire. Avevo dimenticato. Ma avevo dimenticato non come si seguivano le tue orme, bensì come potessi ucciderti. — A cosa sarebbe mai servito trovarti se non avessi saputo farti mia?! A cosa sarebbe servito percorrere infinite distanze per rendere finito lo spazio che ci separava?! E così, smisi di inseguire quelle orme. Mi limitai a guardarle. Mi limitai a restare solo. Mi limitai.
Resta vero, però, che io non avevo mai visto quel blu. Perché i tuoi occhi erano quel cielo. Perché nei tuoi occhi vedevo tutte le stelle — nei tuoi, tutti i miei desideri.

Cosa stava accadendo? Nulla, eccetto te.


9 ottobre 2017,
∃x(φ)

Piedini

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Ma se ogni passo che fai lo farai al mio fianco, allora ti proteggerò. Ti proteggerò sempre — e se necessario, spezzerò il manto gelato dei nostri inverni per te, così che tu possa camminare dove ho già camminato io. Se necessario, ti aprirò una nuova strada — solo tua, solo tua e mia, che ti conduca proprio dove voglio che tu vada: alla felicità. Se necessario, il mio piede sarà quanto il passo del tuo piedino. E non cadremo più, non cadremo mai — perché su due gambe si può anche perdere l’equilibrio e battere a terra, ma non di certo su quattro; anzi: tre e mezzo, perché tu sei piccola. E se anche i nostri tre piedini e mezzo cadessero tutti in fallo, tu non ti preoccupare — tu reggiti, che cadi su di me.
– Perché?
– Perché preferirò sempre farmi male io per te; per tutti e due.

Tuo, M.


∃x(φ)