Che cos’è un numero naturale?

Non è facile definire un numero naturale. Certo qualcuno, pragmaticamente, potrebbe dire: “Un numero naturale è uno dei numeri che iniziano per 0, 1, 2, …”. Bella risposta, almeno intuitivamente. Ma la domanda non era “quanti e quali sono i numeri naturali?”, bensì quale fosse la definizione di un numero naturale. In altre parole: non vogliamo un elenco di numeri naturali, vogliamo prima sapere quali siano le proprietà che li caratterizzano. Ossia la loro natura. A fornirci la risposta è stato il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) che ha definito l’assiomatizzazione standard di tali numeri nel suo lavoro: “Arithmetices principia, nova methodo exposita”, pubblicato nel 1889 .
Che cos’è, dunque, un numero naturale? Sappiamo che ogni genere di numeri fa parte di un insieme ed è in un insieme contenuto. L’insieme (o il dominio) dei numeri naturali viene per convenzione chiamato “Insieme N“. Diremo che un numero x è naturale se e solo se x ∈ N. Se x appartiene all’insieme, o è un elemento dell’insieme, N, allora x è un numero naturale. Cioè si deve verificare la seguente condizione:

= {x}

La rappresentazione è intuitiva. Abbiamo definito come un insieme con un unico elemento. “= {1}” è un insieme formato da soli numeri naturali per esempio. Potremmo anche scrivere così:

  1. = {x, y, z, …, n}
  2. = {1, 2, 3, …, 1938}

1. e 2. sono perfettamente equivalenti, possiamo dire che 2. è un’istanza di 1, cioè 2. è l’esempio pratico dell’esempio formale 1. Fatto vedere ciò, però, ancora non siamo giunti ad individuare le proprietà che fanno sì che questi numeri siano naturali. Abbiamo, infatti, semplicemente mostrato un elenco di numeri, ora vogliamo sapere quali siano i criteri per i quali far rientrare un numero x sotto l’insieme dei numeri naturali.
Supponiamo che ci siano dei numeri naturali x, y, z, allora le condizioni (o proprietà) di base che essi devono soddisfare sono:

(1)   0 è un numero naturale.
(2)   Per ogni numero naturale, x = x.
(3)   Per ogni numero naturale, (x = y) ⇒ (y = x).
(4)   Per ogni numero naturale, [(x = y) & (y = z)] ⇒ (x = z)
(5)   Per ogni x e y, se y è un numero naturale e (x = y), allora anche x è un naturale.

(1) è un’assunzione ed indica che 0 è una costante. (2)-(5) indicano le proprietà equazionali dei numeri naturali, rispettivamente essi sono: riflessivi, simmetrici, transitivi e chiusi rispetto all’equazione (cioè se due numeri sono uguali fra loro e di uno dei due sappiamo che è un naturale, allora possiamo dedurre che anche l’altro sia un naturale). Aggiungiamo ora le ultime condizioni che specificano invece le proprietà aritmetiche.

(6)   Per ogni numero naturale x, S(x) è un numero naturale.
(7)   Per ogni naturale x e y, (x = y) se e solo se [S(x) = S(y)].
(8)   Per ogni numero naturale, S(x) = 0 è falso.

Le condizioni (6)-(8) sono ciò che davvero individua i numeri in quanto naturali. La condizione (6) ci dice che il successore di un numero naturale è ancora un numero naturale. Per cui:

  1. (1 ∈ N) ⇒ S(1) ∈ N
  2.    S(1) ∈⇒ S(S(1)) ∈ N

In 1. ci viene detto sostanzialmente che il successore di 1, ossia 2, fa ancora parte dei numeri naturali, così il successore del successore di 1, ossia 3, fa ancora parte dei numeri naturali.
La condizione (7) a tal punto è banale: due numeri naturali sono uguali se e solo se anche le loro successioni lo sono. Ossia:

(1 = 1) ⇔ (2 = 2)
(1 = 3) ⇔ (2 = 4)

Infine la condizione (8) è forse la più intuitiva: nessun numero ha come successore 0. Ossia: 0 è il primo dei numeri naturali e dunque non è il successore di nessun numero, perché non ci sono altri numeri naturali prima di esso!
Ecco fatto, siamo riusciti ad individuare tutti i numeri naturali per mezzo delle condizioni (1)-(8).


COROLLARIO: Come si generano i numeri naturali?

La generazione dei numeri naturali si dà semplicemente aggiungendo una condizione, che chiamiamo, in continuità con le precedenti condizioni, (9):

(9) Se è un insieme tale che:

  • 0 è un elemento di N,
  • Per ogni numero n in N, si ha che S(n) è anch’esso in N,

Allora contiene ogni numero naturale.

La condizione (9) è anche detta “assioma dell’induzione”. A partire cioè da soli due elementi (lo zero ed il successore di un numero, che potrebbe appunto essere anche il successore di zero) e dalle loro proprietà possiamo derivare l’esistenza e la costruzione dell’intero insieme dei numeri naturali.



∃x(φ)

 

 

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20 risposte a "Che cos’è un numero naturale?"

  1. Grazie di questa illuminante lezione sui numeri naturali ma scusami non ci ho capito nulla 🙂 .
    La colpa è solo mia che di matematica ne so come un poppante ne sa della teoria della relatività.
    Una materia ostica fin dalle elementari, non sono mai riuscito a farmela “amica”. Pensa che un mio compagno (poi laureato in matematica) non parlava d’altro, vedeva in ogni cosa un numero, un assioma teorico, una formula. E’ da molto tempo che non lo sento ma dalle poche notizie che mi sono giunte pare che insegni matematica negli States. Davvero fortunati quei ragazzi!
    Un docente così innamorato della materia che insegna non capita tutti i giorni, nel suo caso penso sia stata la naturale prosecuzione di una passione, un “dono” da condividere.
    Perdonami questo divagare e che i ricordi sono arrivati mentre scrivevo e non sono riuscito a trattenermi. 🙂

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  2. Se questa è la spiegazione dei numeri naturali, non oso leggere il tuo post sui numeri complessi (o immaginari, che dir si voglia….).
    Comunque l’argomento mi appassiona. Aspetto aggornamenti. 🙂

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    1. Sui numeri complessi avrei qualcosa da dire ahah ma in verità volevo soltanto riportare in un articolo quella che oggi è definita “Aritmetica di Peano”. Mi piacerebbe comunque dedicare qualche articolo in più alla Teoria dei numeri

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    1. Quale sarebbe la risposta finale?

      La definizione sostanzialmente ci dice che se in un insieme N ci sono dei numeri tali per cui lo 0 non è successore di nessun numero ed il successore di 0 (come di ogni altro numero) è ancora un membro di N, allora tutti i numeri di N sono tutti e soli i numeri naturali

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  3. Un po’ di matematica creativa….

    929
    NUMERI NATURALI

    Sono
    Numeri naturali perché
    Timbrati
    Su ogni cosa esistente.

    1, pietra numero uno
    4, quarta strada,
    40, quarantesimo citrullo
    400, quattrocentesima calza.

    Tutto chiaro, definito, sicuro.

    Se fabbricati dall’ uomo
    Diventano … numeri artificiali,
    Tutto si complica.

    Si fanno soggettivi,
    Malleabili,
    Persino irrazionali.

    Prendono domicilio
    Nella testa di chi guarda e
    Da incontrovertibile dato
    Trasmutano in opinabile opinione.

    L’80 è tanto
    Ma è pochissimo
    Se desideri 100.000.

    Il 100.000 l’hai fatto irrazionale.

    908
    NUMERI

    Tra i numeri spunta
    Un primo,
    Un alfa sprezzante.

    Tutto d’un pezzo,
    Non vuole contaminazioni,
    Non divide se non con sé stesso.

    Sempre in vetrina,
    Sempre applaudito.

    Un qualunque numero secondo,
    Che in tutte le fatiche del calcolo
    Si arrabatta,
    Giammai è gratificato.

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