Introduzione alla logica proposizionale

La logica è la scienza del ragionamento e del buon argomentare. In seno ad essa v’è più d’un unico sistema logico — che in genere può essere definito induttivamente fornendo un alfabeto sintattico più delle operazioni di base. Un sistema fondamentale è quello che prende il nome di “logica proposizionale”. Non è difficile intuire il motivo per cui questo sistema è detto proposizionale: esso ha a che fare con le proposizioni (gli enunciati). Procediamo per passi però!

  1. Una proposizione è ogni enunciato il cui valore può essere definito solo da vero o falso.

Dato 1., sappiamo che enunciati come “Sta piovendo”, “Roma è la capitale d’Italia”, “Napoli è una città densamente popolata” rientrano sotto il dominio della logica proposizionale (d’ora in avanti abbrevierò in LP), perché di questi enunciati possiamo dire se siano veri o falsi. Enunciati, invece, che non ammetto nessuno dei due valori di verità sono frasi interrogative (“Sta piovendo?”), frasi esclamative, imposizioni o ordini (“Plotone, avanti, marche!”) ed ovviamente frasi che denotano emozioni (“Mah!”). Ci sono poi enunciati predicativi (“Esiste almeno un x, tale che x è P”) e enunciati modalizzati (“Necessariamente ogni X è P”), questi ultimi due casi rientrano sotto il dominio di logiche più potenti di quella proposizionale, rispettivamente la  logica predicativa e la logica modale che non fanno uso delle tavole di verità (di queste tavole si parlerà nel seguito).
Possiamo riscrivere 1. come segue:

  1. 1*    P ⇒ {V, F}

1.1* dice che se un enunciato è una proposizione, allora ad esso può essere associato un valore: o vero, o falso. Questo è anche detto “principio di bivalenza”. Poiché, poi, vale il principio di non contraddizione, è chiaro che una proposizione può prendere uno ed uno solo dei due valori: non può una proposizione essere sia vera sia falsa.


Alfabeto di LP

In LP esiste un alfabeto con una sintassi contenente certe regole di formazione per un discorso. Ci sono innanzitutto variabili che rappresentano le proposizioni, sicché enunciati anche molto complessi possono essere facilmente manipolati (l’ultima sezione fornisce un esempio di ciò). Per esempio:

(1) Paolo ha i capelli ricci.
(2) Ernesto ha i capelli scuri.
(3) Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto ha i capelli scuri.
(4) Se Paolo ha i capelli ricci, allora gli elefanti sono mammiferi.

Formalizzando, cioè usando le variabili proposizionali, avrò una forma ridotta simbolica dei suddetti enunciati come segue:

(1)’ P
(2)’ E
(3)’ P & E
(4)’ P → M

Chiaramente il livello di complessità simbolica in (1)’-(4)’ si riduce e ad ogni proposizione di (1)-(4) viene associata, per così dire, una lettera che funge da nome provvisorio per quella data proposizione. (1)-(1)’ e (2)-(2)’ sono proposizioni semplici, invece (3)-(3)’ e (4)-(4)’ sono proposizioni composte. Le proposizioni composte sono formate dalla connessione di proposizioni semplici. Ciò che connette due o più proposizioni semplici sono, appunto, i connettivi. I connettivi proposizionali (cioè quelli vero-funzionali, ossia che possono prendere un valore vero o un valore falso) sono soltanto: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
L’alfabeto di LP sarà dunque il seguente:

(i)   Un insieme infinito di variabili proposizionali: P, Q, R…
(ii)  I connettivi logici: ¬, ∧, ∨, →, ↔
(iii) Parentesi ( , )

Da (i)-(iii) possiamo costruire le formule. Una formula ben formata (ossia, una formula tout court) è tale che essa (a) ogni variabile proposizionale è da sola una formula, (b) se P e Q sono formule, allora ¬φ, φ∧χ, φ∨χ, φ→χ, φ↔χ sono formule, (c) nient’altro è una formula. (Ho usato le lettere greche in (b) perché queste fungono da schemi di formule, cioè φ può essere composta da P∧Q per esempio).
Ora che disponiamo di un alfabeto, possiamo passare alle tavole di verità, che ci dicono quando sono vere proposizioni come “Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto li ha scuri”.


Operazioni coi connettivi:
le tavole di verità

Abbiamo detto che i connettivi sono i seguenti:
Negazione = non P = ¬P
Congiunzione = P & Q = P ∧ Q
Disgiunzione = P oppure Q = P ∨ Q
Condizionale = Se P allora Q = P → Q
Bicondizionale = P se e solo se Q = P ↔ Q

I valori di ogni singola proposizione, che sono scritti nella prima colonna a sinistra, vanno stabiliti arbitrariamente ma da ciò il calcolo deriva non per arbitrarietà. Nella colonna (o nelle colonne) a destra ci sono i risultati del calcolo, ossia i valori finali che la proposizione avrà. È come se a sinistra facessimo delle ipotesi intorno al valore di verità di una data proposizione ed a destra indicassimo il valore di verità che deriva dalle suddette ipotesi. Il calcolo si ottiene correlando il valore ipotetico istanziato dalla proposizione a sinistra ed il connettivo applicato a tale proposizione a destra.
La tavola di verità (che ci dice in quali condizioni un connettivo è vero) della negazione è la seguente:

P          ¬P
V           F
F           V

Detto in altre parole: se P è vero, allora non-P è falso. Se è falso P, allora non-P è vero. Sembra funzionare no? Poiché ci muoviamo in una logica che ha solo due valori di verità, ne consegue che se una proposizione P è vera, allora la sua negazione sarà falsa (dato che non possono essere veri insiemi un’affermazione e la sua negazione, altrimenti violeremmo il principio di non contraddizione).
La tavola di verità per la congiunzione è la seguente:

P   Q        P ∧ Q
V   V           V
F   V            F
V   F            F
F   F            F

La spiegazione è intuitiva: se P e Q sono entrambe singolarmente vere, allora la proposizione complessa “P & Q” è vera. Esempio: Paolo ha i capelli ricci ed è di carnagione scura è vero se e solo se Paolo ha sia i capelli ricci sia la carnagione scura. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri (altrimenti non sarebbe una contraddizione!).
La tavola di verità della disgiunzione è esattamente la duale di quella della disgiunzione:

P   Q        P ∨ Q
V   V            V
V   F            V
F   V            V
F   F            F

Una disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni semplici sono false (ed è vera quando almeno uno dei due disgiunti è vero). Esempio: “Al concorso possono partecipare o laureati in informatica o laureati in ingegneria informatica”, questa frase è vera (cioè si può partecipare al concorso) se e solo se ci si è laureati in almeno uno dei due corsi di laurea o in entrambi. In quanto tale, è una disgiunzione inclusiva. Se, invece, la disgiunzione fosse stata esclusiva (questa è una forma molto più vicina al nostro linguaggio naturale), allora P ∨¯ Q avrebbe significato che si sarebbe potuto partecipare al concorso solo se si era laureati in informatica ma non in ingegneria informatica e viceversa.
C’è poi il condizionale, o implicazione materiale:

P  Q      P → Q
V  V          V
V  F          F
F  V          V
F  F          V

Questo è il meno intuitivo dei connettivi. Esso dice che un’implicazione è falsa solo quando le premesse sono vere e le conseguenze sono false, vera in tutti gli altri casi. Non è difficile far vedere, però, che ciò non rispecchia l’uso che facciamo dell’implicazione nel nostro linguaggio naturale. Nel linguaggio naturale c’è sempre una correlazione causale fra premessa e conclusione, in LP invece ciò non accade perché ciò che conta sono solo {V, F}. Ciò che conta è che la conclusione sia vera, non importa come ci si è arrivati; se tramite una premessa falsa o tramite una premessa vera, non importa.
C’è infine il bicondizionale, o doppia implicazione, che è sostanzialmente la reiterazione dell’implicazione nel verso opposto: se P implica Q, allora Q implica P = P sse Q.

P   Q      P ↔ Q
V   V          V
F   V           F
V   F           F
F    F          V

Chiaramente il bicondizionale dice che fra P e Q c’è un’equivalenza logica. Un’equivalenza dice che il primo termine è equivalente al secondo termine se il secondo ha lo stesso valore del primo e viceversa. Dunque, la proposizione complessa che connette P e Q sarà vera solo quando P e Q saranno proposizioni equivalenti, ossia quando avranno lo stesso valore di verità: o entrambe vere, o entrambe false. In altre parole: quando si implicheranno a vicenda.


Dimostrazione della verità
di una proposizione complessa

A questo punto non è difficile far vedere che possiamo formalizzare in LP un discorso complesso nel modo seguente:
Sia data la seguente proposizione: “Se Pina è andata a fare la spesa, allora Pina è uscita di casa. Se Pina è uscita di casa, allora ha preso la macchina. Quindi Pina ha preso la macchina”.
Formalizziamo: P = Pina andata a fare la spesa, Q = Pina esce di casa, M = Pina guida la macchina. Avremo la seguente proposizione in LP:

((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)

Questo è il primo caso in cui abbiamo usato le parentesi. Le parentesi ci aiutano a distinguere il campo operativo dei connettivi e sono essenziali per la determinazione del significato della proposizione (a meno che non si stabiliscano regole di forza del legame dei connettivi. Questa è l’alternativa, legittima, ma inusuale).
Determiniamo ora il valore di verità della suddetta proposizione:

P  Q  M      ((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)
V  V  V            v       V      v          V      V
V  V  F            v       F       f          V       F
V  F  V            f        F       v         V       V
V  F  F            f        F       v         V       F
F  V  V            v       V       v         V      V
F  V  F            v       F        f         V      V
F  F  V            v       V        v        V      V
F  F  F             v      V        v        V      V

(N.B. Il numero dei valori di verità è aumentato perché ora bisogna considerare anche la terza variabile proposizionale. Le possibili combinazioni aumentano esponenzialmente sicché al posto di avere due V e due F per variabile, si avranno quattro V e quattro F per ogni variabile).
Nella tabella superiore ho scritto le lettere minuscole per indicare il valore di verità dei congiunti (che in questo caso erano anche implicazioni, quindi il loro valore è stato determinato dalla regola del condizionale) presi singolarmente ed i valori in lettere maiuscole per indicare il valore della congiunzione nella premessa e quello della conclusione. I valori in grassetto indicano il valore che determina la verità di tutta la proposizione, ossia il valore del connettivo principale. Poiché il connettivo principale è sempre vero, allora siamo difronte ad una tautologia. Se fosse stato sempre falso allora avremmo avuto difronte una contraddizione. Se fosse stato qualche volta vero e qualche volta falso allora avremmo avuto difronte una contingenza.


∃x(φ)

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