Teorema di Robinson

Il Teorema di Robinson (1956), anche detto teorema della somma di teorie, ci dice in che modo due teorie possano unirsi. Stabilisce, cioè, le condizioni affinché due teorie differenti (ma che abbiano almeno qualcosa in comune) possano unirsi per formare un’unica teoria unificata. Perché è importante questo teorema? Beh, se si pensa che la fisica quantistica (o, più specificatamente: la teoria della relatività e la meccanica quantistica) non è altro che un insieme di teorie matematiche fra loro non necessariamente non contraddittorie, allora il teorema di Robinson ci indica la strada da percorrere affinché si possa giungere ad una teoria del tutto (o teoria fisica unificata).
Veniamo ora nel vivo del teorema:

Enunciato: T e T* sono consistenti se e solo se sono compatibili. Dove compatibili significa che: (I) T è consistente; (II) T* è consistente; (III) non esiste una formula C tale che il linguaggio in cui è formulata C è incluso o uguale all’intersezione del linguaggio di T con il linguaggio di T* e: T dimostra C e T* dimostra ¬C.

[Ho usato il segno ¬ per indicare la negazione di C, quindi ¬C equivale a non-C].
Spieghiamo meglio cosa significa l’enunciato. Due teorie differenti, che chiamiamo T e T*, sono non contraddittorie (ossia, consistenti fra loro) soltanto quando essere sono compatibili. Ovviamente se le due teorie sono inconsistenti (ossia si contraddicono a vicenda), allora non sono compatibili: se una teoria dimostra A ed una dimostra non-A, allora A sarà sia vera sia falsa nella loro somma. Ma questo violerebbe il principio di non contraddizione, quindi è assurdo che si verifichi una tale evenienza. Per essere, invece, compatibili le due teorie devono essere entrambe, se considerate singolarmente, non contraddittorie (ossia non si dà il caso che T dimostri B e non-B,  e lo stesso vale per T*). In più, per essere sommate, bisogna che esse abbiano almeno qualcosa in comune nel loro linguaggio (ossia nel loro apparato concettuale diremmo in termini meno formali). Questo è un requisito necessario, altrimenti potremmo sommare una teoria che parla di atomi ed una che parla di Dio. Ma così confonderemmo una teoria scientifica con una teologica! Noi invece vogliamo restare in un campo ristretto, sicché si possano sommare teorie fra loro correlate.
Si noti, poi, che le due teorie sono consistenti fra loro se e solo se i loro assiomi di partenza sono consistenti.
Possiamo riscrivere (III) così:

  • (III)*   Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)].

Bene, bell’enunciato sicuramente. Ma è vero o falso? Per scoprirlo è necessaria una dimostrazione dell’enunciato. La dimostrazione si conduce sciogliendo il “se e solo se” nei due versi, ossia mostrando che il primo termine implica il secondo e, viceversa, che anche il secondo implica il primo.

Dimostrazione:
Dim 1: Se T e T* sono consistenti, allora sono compatibili. Questo verso della doppia implicazione è banale: se T e T* sono entrambe consistenti allora le condizioni (I) e (II) valgono. Quindi T non dimostra contraddizioni e neanche T* ne dimostra. Supponiamo ora che per assurdo le due teorie non siano compatibili, allora ciò significa che T+T* dimostra una contraddizione. Ma questo vuol dire che una fra T e T* è inconsistente! Ma non avevamo supposto fossero entrambe consistenti? L’ipotesi che due teorie sono consistenti ma incompatibili ci conduce dunque all’assurdo, quindi è falsa. Sarà allora vero che se due teorie sono consistenti allora esse sono compatibili.
Dim 2: Se T e T* sono compatibili, allora T e T* sono consistenti. Si procede con una dimostrazione per assurdo, cioè assumiamo che le due teorie siano compatibili ma che non siano consistenti.
(Userò il segno ⇒ per indicare che le due teorie dimostrano una certa proposizione. Userò poi il segno ⊥ per indicare una contraddizione e simbolizza l’assunzione “le due teorie, messe insieme, sono contraddittorie”; in altre parole equivale al fatto che si sta dimostrando l’enunciato per assurdo. Userò il segno ≡ per indicare che due forme sono equivalenti).
(o) T e T* sono compatibili.
(1) T + T* ⇒ ⊥
(2) Siano A gli assiomi di T e B gli assiomi di T*.
(3) A, B ⇒ ⊥
(4) ⇒ A→[B→(⊥)]   [(3) e (4) sono equivalenti; ho solo riscritto (3)]
(5) ⇒ A→ ¬B            [Se B implica l’assurdo, allora è vera non-B]
(5.1) A→¬B è vera anche se è falso A, cioè ¬A è vero, ed è vero ¬B.
(6) Dato (5.1), si danno i tre seguenti casi:
(6.1)  ⇒¬A ma per (2)   T ⇒ A & ¬A.
(6.2)  ⇒ ¬B ma per (2)  T* ⇒ B & ¬B.
(6.3)  Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)] e dunque:
          (6.3.1) [⇒A → C] ≡ [T ⇒ C].
          (6.3.2) [⇒ C → ¬B] ≡ [⇒ B → ¬C] ≡ [T* ⇒ ¬C]

QED

Poiché i sottocasi di (6) hanno condotto all’assurdo — i primi due perché sono in contraddizione con gli assiomi e l’ultimo, coi rispettivi altri due suoi sottocasi, perché dice che le due teorie T e T* dimostrano rispettivamente C e non-C — allora la negazione del teorema è falsa perché contraddittoria. Quindi l’enunciato del teorema è necessariamente vero.

                              

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Introduzione alla logica proposizionale

La logica è la scienza del ragionamento e del buon argomentare. In seno ad essa v’è più d’un unico sistema logico — che in genere può essere definito induttivamente fornendo un alfabeto sintattico più delle operazioni di base. Un sistema fondamentale è quello che prende il nome di “logica proposizionale”. Non è difficile intuire il motivo per cui questo sistema è detto proposizionale: esso ha a che fare con le proposizioni (gli enunciati). Procediamo per passi però!

  1. Una proposizione è ogni enunciato il cui valore può essere definito solo da vero o falso.

Dato 1., sappiamo che enunciati come “Sta piovendo”, “Roma è la capitale d’Italia”, “Napoli è una città densamente popolata” rientrano sotto il dominio della logica proposizionale (d’ora in avanti abbrevierò in LP), perché di questi enunciati possiamo dire se siano veri o falsi. Enunciati, invece, che non ammetto nessuno dei due valori di verità sono frasi interrogative (“Sta piovendo?”), frasi esclamative, imposizioni o ordini (“Plotone, avanti, marche!”) ed ovviamente frasi che denotano emozioni (“Mah!”). Ci sono poi enunciati predicativi (“Esiste almeno un x, tale che x è P”) e enunciati modalizzati (“Necessariamente ogni X è P”), questi ultimi due casi rientrano sotto il dominio di logiche più potenti di quella proposizionale, rispettivamente la  logica predicativa e la logica modale che non fanno uso delle tavole di verità (di queste tavole si parlerà nel seguito).
Possiamo riscrivere 1. come segue:

  1. 1*    P ⇒ {V, F}

1.1* dice che se un enunciato è una proposizione, allora ad esso può essere associato un valore: o vero, o falso. Questo è anche detto “principio di bivalenza”. Poiché, poi, vale il principio di non contraddizione, è chiaro che una proposizione può prendere uno ed uno solo dei due valori: non può una proposizione essere sia vera sia falsa.


Alfabeto di LP

In LP esiste un alfabeto con una sintassi contenente certe regole di formazione per un discorso. Ci sono innanzitutto variabili che rappresentano le proposizioni, sicché enunciati anche molto complessi possono essere facilmente manipolati (l’ultima sezione fornisce un esempio di ciò). Per esempio:

(1) Paolo ha i capelli ricci.
(2) Ernesto ha i capelli scuri.
(3) Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto ha i capelli scuri.
(4) Se Paolo ha i capelli ricci, allora gli elefanti sono mammiferi.

Formalizzando, cioè usando le variabili proposizionali, avrò una forma ridotta simbolica dei suddetti enunciati come segue:

(1)’ P
(2)’ E
(3)’ P & E
(4)’ P → M

Chiaramente il livello di complessità simbolica in (1)’-(4)’ si riduce e ad ogni proposizione di (1)-(4) viene associata, per così dire, una lettera che funge da nome provvisorio per quella data proposizione. (1)-(1)’ e (2)-(2)’ sono proposizioni semplici, invece (3)-(3)’ e (4)-(4)’ sono proposizioni composte. Le proposizioni composte sono formate dalla connessione di proposizioni semplici. Ciò che connette due o più proposizioni semplici sono, appunto, i connettivi. I connettivi proposizionali (cioè quelli vero-funzionali, ossia che possono prendere un valore vero o un valore falso) sono soltanto: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
L’alfabeto di LP sarà dunque il seguente:

(i)   Un insieme infinito di variabili proposizionali: P, Q, R…
(ii)  I connettivi logici: ¬, ∧, ∨, →, ↔
(iii) Parentesi ( , )

Da (i)-(iii) possiamo costruire le formule. Una formula ben formata (ossia, una formula tout court) è tale che essa (a) ogni variabile proposizionale è da sola una formula, (b) se P e Q sono formule, allora ¬φ, φ∧χ, φ∨χ, φ→χ, φ↔χ sono formule, (c) nient’altro è una formula. (Ho usato le lettere greche in (b) perché queste fungono da schemi di formule, cioè φ può essere composta da P∧Q per esempio).
Ora che disponiamo di un alfabeto, possiamo passare alle tavole di verità, che ci dicono quando sono vere proposizioni come “Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto li ha scuri”.


Operazioni coi connettivi:
le tavole di verità

Abbiamo detto che i connettivi sono i seguenti:
Negazione = non P = ¬P
Congiunzione = P & Q = P ∧ Q
Disgiunzione = P oppure Q = P ∨ Q
Condizionale = Se P allora Q = P → Q
Bicondizionale = P se e solo se Q = P ↔ Q

I valori di ogni singola proposizione, che sono scritti nella prima colonna a sinistra, vanno stabiliti arbitrariamente ma da ciò il calcolo deriva non per arbitrarietà. Nella colonna (o nelle colonne) a destra ci sono i risultati del calcolo, ossia i valori finali che la proposizione avrà. È come se a sinistra facessimo delle ipotesi intorno al valore di verità di una data proposizione ed a destra indicassimo il valore di verità che deriva dalle suddette ipotesi. Il calcolo si ottiene correlando il valore ipotetico istanziato dalla proposizione a sinistra ed il connettivo applicato a tale proposizione a destra.
La tavola di verità (che ci dice in quali condizioni un connettivo è vero) della negazione è la seguente:

P          ¬P
V           F
F           V

Detto in altre parole: se P è vero, allora non-P è falso. Se è falso P, allora non-P è vero. Sembra funzionare no? Poiché ci muoviamo in una logica che ha solo due valori di verità, ne consegue che se una proposizione P è vera, allora la sua negazione sarà falsa (dato che non possono essere veri insiemi un’affermazione e la sua negazione, altrimenti violeremmo il principio di non contraddizione).
La tavola di verità per la congiunzione è la seguente:

P   Q        P ∧ Q
V   V           V
F   V            F
V   F            F
F   F            F

La spiegazione è intuitiva: se P e Q sono entrambe singolarmente vere, allora la proposizione complessa “P & Q” è vera. Esempio: Paolo ha i capelli ricci ed è di carnagione scura è vero se e solo se Paolo ha sia i capelli ricci sia la carnagione scura. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri (altrimenti non sarebbe una contraddizione!).
La tavola di verità della disgiunzione è esattamente la duale di quella della disgiunzione:

P   Q        P ∨ Q
V   V            V
V   F            V
F   V            V
F   F            F

Una disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni semplici sono false (ed è vera quando almeno uno dei due disgiunti è vero). Esempio: “Al concorso possono partecipare o laureati in informatica o laureati in ingegneria informatica”, questa frase è vera (cioè si può partecipare al concorso) se e solo se ci si è laureati in almeno uno dei due corsi di laurea o in entrambi. In quanto tale, è una disgiunzione inclusiva. Se, invece, la disgiunzione fosse stata esclusiva (questa è una forma molto più vicina al nostro linguaggio naturale), allora P ∨¯ Q avrebbe significato che si sarebbe potuto partecipare al concorso solo se si era laureati in informatica ma non in ingegneria informatica e viceversa.
C’è poi il condizionale, o implicazione materiale:

P  Q      P → Q
V  V          V
V  F          F
F  V          V
F  F          V

Questo è il meno intuitivo dei connettivi. Esso dice che un’implicazione è falsa solo quando le premesse sono vere e le conseguenze sono false, vera in tutti gli altri casi. Non è difficile far vedere, però, che ciò non rispecchia l’uso che facciamo dell’implicazione nel nostro linguaggio naturale. Nel linguaggio naturale c’è sempre una correlazione causale fra premessa e conclusione, in LP invece ciò non accade perché ciò che conta sono solo {V, F}. Ciò che conta è che la conclusione sia vera, non importa come ci si è arrivati; se tramite una premessa falsa o tramite una premessa vera, non importa.
C’è infine il bicondizionale, o doppia implicazione, che è sostanzialmente la reiterazione dell’implicazione nel verso opposto: se P implica Q, allora Q implica P = P sse Q.

P   Q      P ↔ Q
V   V          V
F   V           F
V   F           F
F    F          V

Chiaramente il bicondizionale dice che fra P e Q c’è un’equivalenza logica. Un’equivalenza dice che il primo termine è equivalente al secondo termine se il secondo ha lo stesso valore del primo e viceversa. Dunque, la proposizione complessa che connette P e Q sarà vera solo quando P e Q saranno proposizioni equivalenti, ossia quando avranno lo stesso valore di verità: o entrambe vere, o entrambe false. In altre parole: quando si implicheranno a vicenda.


Dimostrazione della verità
di una proposizione complessa

A questo punto non è difficile far vedere che possiamo formalizzare in LP un discorso complesso nel modo seguente:
Sia data la seguente proposizione: “Se Pina è andata a fare la spesa, allora Pina è uscita di casa. Se Pina è uscita di casa, allora ha preso la macchina. Quindi Pina ha preso la macchina”.
Formalizziamo: P = Pina andata a fare la spesa, Q = Pina esce di casa, M = Pina guida la macchina. Avremo la seguente proposizione in LP:

((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)

Questo è il primo caso in cui abbiamo usato le parentesi. Le parentesi ci aiutano a distinguere il campo operativo dei connettivi e sono essenziali per la determinazione del significato della proposizione (a meno che non si stabiliscano regole di forza del legame dei connettivi. Questa è l’alternativa, legittima, ma inusuale).
Determiniamo ora il valore di verità della suddetta proposizione:

P  Q  M      ((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)
V  V  V            v       V      v          V      V
V  V  F            v       F       f          V       F
V  F  V            f        F       v         V       V
V  F  F            f        F       v         V       F
F  V  V            v       V       v         V      V
F  V  F            v       F        f         V      V
F  F  V            v       V        v        V      V
F  F  F             v      V        v        V      V

(N.B. Il numero dei valori di verità è aumentato perché ora bisogna considerare anche la terza variabile proposizionale. Le possibili combinazioni aumentano esponenzialmente sicché al posto di avere due V e due F per variabile, si avranno quattro V e quattro F per ogni variabile).
Nella tabella superiore ho scritto le lettere minuscole per indicare il valore di verità dei congiunti (che in questo caso erano anche implicazioni, quindi il loro valore è stato determinato dalla regola del condizionale) presi singolarmente ed i valori in lettere maiuscole per indicare il valore della congiunzione nella premessa e quello della conclusione. I valori in grassetto indicano il valore che determina la verità di tutta la proposizione, ossia il valore del connettivo principale. Poiché il connettivo principale è sempre vero, allora siamo difronte ad una tautologia. Se fosse stato sempre falso allora avremmo avuto difronte una contraddizione. Se fosse stato qualche volta vero e qualche volta falso allora avremmo avuto difronte una contingenza.


∃x(φ)

Il principio più saldo di tutti

Il principio più sicuro di tutti è quello a proposito del quale è impossibile sbagliarsi, poiché è necessario che quello che è tale sia anche il più conosciuto (tutti infatti si sbagliano a proposito delle cose che non conoscono), e che sia non ipotetico, perché quello che deve necessariamente avere colui che comprende qualsivoglia fra gli enti, questo non è un’ipotesi; […]. Che un tale principio è il più sicuro di tutti, è chiaro; ma qual è questo, dopo di ciò diciamolo. È impossibile che lo stesso attributo appartenga e non appartenga allo stesso soggetto nello stesso tempo e sotto lo stesso aspetto.
Aristotele, Metafisica, Libro IV, cap.3, 1005b 13-20.

Qual è il principio più saldo di tutti? Quel principio tale che:

  1. è impossibile ingannarsi intorno a tale principio;
  2. è il principio massimamente conosciuto;
  3. è la base per ogni altra conoscenza, quindi è un fondamento epistemico;
  4. è non ipotetico, non è una mera assunzione.

Qual è il principio che soddisfa le condizioni 1-4? Il principio di non contraddizione (da qui in avanti abbreviato in: PNC). Di questo principio — dato il fatto che è non ipotetico e che è una base per ogni altra conoscenza — è impossibile dubitare. Tuttavia, poiché questo stesso principio è l’assunzione fondamentale di ogni altra dimostrazione (dato il punto 3), allora ne consegue che non è dimostrabile. Perché? Perché dimostrarlo vuol dire presupporlo. Se S vuole dimostrare P, allora S si impegna nell’assunzione che una volta dimostrato P, non avrà dimostrato anche ¬P, bensì avrà escluso quest’ultimo (ossia la negazione di P). In altre parole: se S dimostra che piove, allora dimostra che non è il caso che sia bel tempo.
Ma allora, noi conduciamo tutte le nostre dimostrazioni e fondiamo il nostro intero modo di pensare su un principio che non è certo? Su un principio di cui non possiamo avere una giustificazione razionale o almeno una garanzia della sua validità?
Aristotele elabora una strategia: non possiamo dimostrare direttamente PNC, tuttavia possiamo confutare chi nega PNC — ciò equivale a fornire una dimostrazione indiretta, per via dialettica, di PNC. Una dimostrazione di questo tipo è più propriamente una confutazione. L’idea base è che: dimostrazione ≠ confutazione.
Aristotele propone quattro argomenti principali contro la negazione di PNC.

Primo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento dialettico

Il passo aristotelico è il seguente:

(a) Supponiamo che vi sia un negatore di PNC (che sostiene cioè che tutte le contraddizioni sono vere, o che almeno qualche contraddizione sia vera) che possiamo chiamare N.
(b)  Supponiamo che N dica qualcosa o non dica nulla.
(c)  Se N non dice nulla allora sarà un vegetale, se N dice qualcosa allora si impegna a sostenere quel qualcosa e non qualcos’altro.
(∴) Quindi se N parla dicendo qualcosa di significante, necessariamente presuppone PNC e la negazione di PNC risulta così insostenibile.

Caso pratico:
Supponiamo che N dica la semplice parola “uomo”. Se dice uomo, allora non dice “non-uomo”, perché altrimenti non sarebbe possibile neanche il linguaggio, quindi neanche il pensiero. Questo primo argomento è basilare, nel senso che Aristotele a partire da nessuna assunzione filosofica riesce a far funzionare l’argomento sul solo presupposto che il discorso significhi qualcosa — ed in effetti pare che questo sia davvero un presupposto innocuo e universalmente riconosciuto (cosa c’è di più naturale ed intuitivo se non il pensare che una parola ha un significato?).

Secondo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento metafisico

Il secondo argomento è più tecnico e prevede qualche assunzione metafisica (dunque, è meno basilare del primo argomento). Funziona però altrettanto bene (e forse con maggior profondità) del primo. Esso procede nel modo seguente:

(1) X e Y sono uguali se e solo se hanno la medesima definizione.
(2) Definizione = Individuare l’essenza di ciò che vogliamo definire.
(3) Uomo = Uomo.
(3.1) Se x è un Uomo, allora x ha un’essenza.
(3.2) L’essenza di Uomo è “Animale Razionale”.*
(4) U = AR.
(5) Necessariamente: U(x) ⇒ AR(x).
(6) Necessario U = Non possibile non-U.
(7) Non possibile: U(x) & ¬AR(x).
(8) Non possibile: U(x) & ¬U(x).
(∴) PNC

*[Abbrevio “Uomo” con U e “Animale Razionale” con AR. Uso la x come variabile, si può tradurre come “qualcosa”: “necessariamente: se qualcosa è un Uomo, allora è un Animale Razionale” si legge in (5). Ci sono poi i consueti simboli logici: ¬ per la negazione di una proprietà (ossia affermare il contrario di un predicato), & per indicare la congiunzione ed infine la freccia ⇒ che sta per la relazione di conseguenza logica].
Meno formalmente: Aristotele dice sostanzialmente che se presupponiamo che due oggetti, X e nonX, siano identici, essi lo saranno solo se avranno la stessa definizione, ossia la stessa essenza. Ma sappiamo anche che se X ha un’essenza, allora sarà necessariamente ciò che l’essenza dice intorno all’essere di X. E se è necessario che X sia tale, allora non sarà possibile che X non sia ciò che la sua essenza dice che è. Ma poiché l’essenza identifica (perché definisce) X, allora non è possibile che il suddetto oggetto sia X e nonX. E, dunque, risulterà che PNC è necessariamente valido.

Terzo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della trireme

Il terzo argomento è forse anche più diretto del secondo. Esso si sviluppa a partire dall’accettazione di una contraddizione, o di tutte le contraddizioni. (Al termine di ogni proposizione indicherò in grassetto e fra parentesi quadre le regole logiche adoperate per giustificare l’inferenza dal passo precedente al passo successivo. Ove non vi sia inferenza, userò “Ass” per indicare una generica assunzione. Userò “App” come sigla per applicazione di un’assunzione su un passo successivo della dimostrazione. Userò “MP” per indicare il modus ponens ossia: se è vero A e se è vero che A implica B, allora è vero B. Indico poi la riduzione all’assurdo con la sigla “RAA”).

(1) Supponiamo che PNC non sia valido. [Ass]
(2) Se PNC non è valido, allora ogni cosa è P ed è nonP. [Da (1)]
(3) Se X è un uomo, allora X non è una trireme. [Ass]
(4) Se X è un uomo, allora X è una trireme. [App di (1) su (3)]
(5) X è un uomo. [Ass]
(6) X non è una trireme. [MP fra (3) e (5)]
(7) X è una trireme. [MP fra (4) e (5)]
(8) Se X è un uomo, allora è una trireme. [Da (1) su (5)]
(∴) Ma “(8)” è assurdo, quindi PNC. [RAA]

L’argomentazione è chiara: se vale la negazione del principio di non contraddizione, allora: se qualcosa è un uomo, allora sarà anche non uomo. Se qualcosa è non uomo, allora sarà anche una trireme. Quindi se qualcosa è un uomo, allora è una trireme. Data l’assurdità di una simile proposizione, ne deriva che PNC deve essere necessariamente valido.

Quarto Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della vita pratica

In questo argomento non è necessario presentare una formalizzazione rigorosa. L’idea di Aristotele è la seguente: supponiamo che PNC non sia valido, allora ogni qualità contraria sarà al contempo vera di un medesimo oggetto. Supponiamo ora che un uomo malato debba decidere di curarsi o non curarsi. Se PNC non vale, allora per lui non farà alcuna differenza il curarsi o non curarsi. Ma supponiamo ancora che quest’uomo decida di curarsi, se sceglie ciò, allora non andrà a curarsi da un qualunque artigiano, operaio o bottegaio di altro tipo, bensì andrà da un medico. Pare, dunque, che sul piano pratico vi siano competenza tecniche che la negazione di PNC non può affliggere.
Così come, se un uomo trovandosi dinanzi ad un precipizio d’improvviso dovesse decidere sul da farsi, di certo giudicherà di valore diverso il cadere e il non cadere nel suddetto precipizio.
Quindi: è impossibile agire in conformità con la negazione di PNC.
Quindi: è vero PNC.


∃x(φ)

Che cos’è un numero naturale?

Non è facile definire un numero naturale. Certo qualcuno, pragmaticamente, potrebbe dire: “Un numero naturale è uno dei numeri che iniziano per 0, 1, 2, …”. Bella risposta, almeno intuitivamente. Ma la domanda non era “quanti e quali sono i numeri naturali?”, bensì quale fosse la definizione di un numero naturale. In altre parole: non vogliamo un elenco di numeri naturali, vogliamo prima sapere quali siano le proprietà che li caratterizzano. Ossia la loro natura. A fornirci la risposta è stato il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) che ha definito l’assiomatizzazione standard di tali numeri nel suo lavoro: “Arithmetices principia, nova methodo exposita”, pubblicato nel 1889 .
Che cos’è, dunque, un numero naturale? Sappiamo che ogni genere di numeri fa parte di un insieme ed è in un insieme contenuto. L’insieme (o il dominio) dei numeri naturali viene per convenzione chiamato “Insieme N“. Diremo che un numero x è naturale se e solo se x ∈ N. Se x appartiene all’insieme, o è un elemento dell’insieme, N, allora x è un numero naturale. Cioè si deve verificare la seguente condizione:

= {x}

La rappresentazione è intuitiva. Abbiamo definito come un insieme con un unico elemento. “= {1}” è un insieme formato da soli numeri naturali per esempio. Potremmo anche scrivere così:

  1. = {x, y, z, …, n}
  2. = {1, 2, 3, …, 1938}

1. e 2. sono perfettamente equivalenti, possiamo dire che 2. è un’istanza di 1, cioè 2. è l’esempio pratico dell’esempio formale 1. Fatto vedere ciò, però, ancora non siamo giunti ad individuare le proprietà che fanno sì che questi numeri siano naturali. Abbiamo, infatti, semplicemente mostrato un elenco di numeri, ora vogliamo sapere quali siano i criteri per i quali far rientrare un numero x sotto l’insieme dei numeri naturali.
Supponiamo che ci siano dei numeri naturali x, y, z, allora le condizioni (o proprietà) di base che essi devono soddisfare sono:

(1)   0 è un numero naturale.
(2)   Per ogni numero naturale, x = x.
(3)   Per ogni numero naturale, (x = y) ⇒ (y = x).
(4)   Per ogni numero naturale, [(x = y) & (y = z)] ⇒ (x = z)
(5)   Per ogni x e y, se y è un numero naturale e (x = y), allora anche x è un naturale.

(1) è un’assunzione ed indica che 0 è una costante. (2)-(5) indicano le proprietà equazionali dei numeri naturali, rispettivamente essi sono: riflessivi, simmetrici, transitivi e chiusi rispetto all’equazione (cioè se due numeri sono uguali fra loro e di uno dei due sappiamo che è un naturale, allora possiamo dedurre che anche l’altro sia un naturale). Aggiungiamo ora le ultime condizioni che specificano invece le proprietà aritmetiche.

(6)   Per ogni numero naturale x, S(x) è un numero naturale.
(7)   Per ogni naturale x e y, (x = y) se e solo se [S(x) = S(y)].
(8)   Per ogni numero naturale, S(x) = 0 è falso.

Le condizioni (6)-(8) sono ciò che davvero individua i numeri in quanto naturali. La condizione (6) ci dice che il successore di un numero naturale è ancora un numero naturale. Per cui:

  1. (1 ∈ N) ⇒ S(1) ∈ N
  2.    S(1) ∈⇒ S(S(1)) ∈ N

In 1. ci viene detto sostanzialmente che il successore di 1, ossia 2, fa ancora parte dei numeri naturali, così il successore del successore di 1, ossia 3, fa ancora parte dei numeri naturali.
La condizione (7) a tal punto è banale: due numeri naturali sono uguali se e solo se anche le loro successioni lo sono. Ossia:

(1 = 1) ⇔ (2 = 2)
(1 = 3) ⇔ (2 = 4)

Infine la condizione (8) è forse la più intuitiva: nessun numero ha come successore 0. Ossia: 0 è il primo dei numeri naturali e dunque non è il successore di nessun numero, perché non ci sono altri numeri naturali prima di esso!
Ecco fatto, siamo riusciti ad individuare tutti i numeri naturali per mezzo delle condizioni (1)-(8).


COROLLARIO: Come si generano i numeri naturali?

La generazione dei numeri naturali si dà semplicemente aggiungendo una condizione, che chiamiamo, in continuità con le precedenti condizioni, (9):

(9) Se è un insieme tale che:

  • 0 è un elemento di N,
  • Per ogni numero n in N, si ha che S(n) è anch’esso in N,

Allora contiene ogni numero naturale.

La condizione (9) è anche detta “assioma dell’induzione”. A partire cioè da soli due elementi (lo zero ed il successore di un numero, che potrebbe appunto essere anche il successore di zero) e dalle loro proprietà possiamo derivare l’esistenza e la costruzione dell’intero insieme dei numeri naturali.



∃x(φ)

 

 

Il problema Gettier

Vi è in epistemologia (un settore della filosofia che si occupa dello studio della conoscenza) una teoria, che viene fatta risalire a Platone (sebbene egli si occupò solo della sua esposizione, senza sostenerla), che è oggi detta “standard view” sulla natura della conoscenza. In altre parole, tale teoria cerca di rispondere alla domanda: “Che cos’è la conoscenza?”.
A tale domanda segue spesso la risposta che la conoscenza sia opinione vera con delle prove a sostegno di tale opinione. Ma bisogna procedere per gradi e porre prima una definizione precisa. Partiamo innanzitutto da una chiara e non controversa assunzione:

(Ass) Conoscenza è sempre conoscenza di qualcosa.

La proposizione (Ass) è un’assunzione di base, dunque fondamentale. Come si potrebbe infatti dare conoscenza di nulla? Se si ha conoscenza di nulla, allora non si conosce nulla.

(Def) Conoscenza = Opinione vera giustificata
(Def1) Conoscenza di X = Opinione vera giustificata per X

In (Def) e (Def1) abbiamo definito la conoscenza come qualcosa che per essere tale deve soddisfare tre proprietà più semplici — tale modello viene spesso chiamato anche “modello addizionale” perché la conoscenza è l’addizione di “opinione”+”verità”+”giustificazione”. La conoscenza viene dunque ridotta a qualcos’altro di più fondamentale e primitivo, ossia a tre fattori, tali fattori insieme garantiscono la conoscenza di qualcosa. Pare, infatti, che per avere conoscenza di X noi dobbiamo innanzitutto credere che sussista X, poi che X sia vero ed infine avere delle prove per sostenere che X sia vero.
Facciamo un esempio: Alberto sa che c’è un cavallo nella stalla del suo maniero. Che cosa permette ad Alberto di sapere ciò? Alberto sa ciò perché: (a) crede che ci sia un cavallo nella sua stalla (come potrei, infatti, mai conoscere ciò a cui non credo o su cui non ho alcuna opinione?), (b) c’è effettivamente un cavallo nella stalla (a prescindere dal fatto che Alberto sia o meno cosciente di ciò), (c) Alberto ha visto che poche ore prima è arrivato un camion addetto al trasporto di animali vivi, in più suo padre qualche giorno prima gli aveva comunicato che sarebbero arrivati dei cavalli nell’arco di un mese al massimo, senza tuttavia conoscere quale fosse il giorno preciso di arrivo degli animali al maniero. Date le condizioni (a)-(c), pare che Alberto sia giustificato nell’opinare che vi sia almeno un cavallo nella stalla e tutti noi saremmo portati a dire che egli effettivamente sa che ci sono dei cavalli.


Il controesempio di Gettier

Ci fu però un filosofo, di nome Edmund Gettier, che nel 1963 pubblicò un articolo [Is Justified True Belief Knowledge? in Analysis 23] in cui mostrava come ci fossero dei casi che soddisfacevano le condizioni (a)-(c) della standard view senza tuttavia produrre l’esito sperato, ossia senza produrre conoscenza negli individui che erano i protagonisti di questi esempi (in termini tecnici, un esperimento mentale del genere teso ad invalidare una tesi che si assume valida, è detto “controesempio”).
Alberto, come abbiamo detto sopra, è giustificato nel credere che vi siano dei cavalli nella stalla. Tuttavia, ad una analisi più attenta, veniamo a sapere che (A) quelli che erano stati portati questa mattina dal camion non erano cavalli, bensì asini e (B) che il padre di Alberto aveva capito male riguardo a quale tipo di animale sarebbe stato portato al maniero (confondendo, supponiamo, i cavalli per gli asini). Tuttavia ci sono effettivamente dei cavalli all’interno della stalla, portati però dalla fattoria vicina, perché la stalla dei vicini doveva essere ristrutturata. Alberto, dunque, sa davvero che vi sono dei cavalli nella stalla date le sue giustificazioni o ha soltanto per un caso fortuito (e dunque, opinato-creduto e non conosciuto) azzeccato che vi fossero dei cavalli nella stalla?

Pare dunque che un controesempio di Gettier renda palese il fatto che la standard view non fornisca delle condizioni sufficienti e necessarie affinché si dia conoscenza, ma soltanto delle condizioni sufficienti.
L’algoritmo che ci permette di generare i controesempi di Gettier è molto semplice: assumiamo le condizioni di (Def), forniamo le premesse (le giustificazioni) “X1, … Xn” che permettono a qualcuno di conoscere Y secondo la standard view, poi si mostra come tali premesse fossero false ma che comunque Y sia valida. In termini formali possiamo riassumere così:

(G)  (p conosce Y) se e solo se (p ha ragioni per credere Y), ossia:
(G*) Kp(Y) ⇔ (X1, …, Xn) — [“K” sta per conoscere].

(1) Kp(X1, …, Xn ⇒ Y)            Assunzione
(2) ¬(X1, …, Xn)                       Premesse false
(3) Y                                          Conclusione vera comunque
(C) ¬(X1, …, Xn ⇔ Y)               Controesempio a (G)-(G*).

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Hume e l’identità personale

C’era una volta un signore che era tutt’altro che un credulone, uno che dubitava pressoché di ogni cosa e che avrebbe dubitato persino della sua medesima identità. Questo signore fu il filosofo David Hume — famoso fra l’altro per aver sostenuto che ogni nostra conoscenza non è altro che una conoscenza che si ottiene esclusivamente tramite i sensi. Nel suo monumentale saggio, A Treatise of Human Nature, egli decise di occuparsi [Libro I, parte IV] del problema dell’identità in generale e di quella personale in particolare.
Egli sostiene, senza mezzi termini, che: l’io, o la persona, è una supposizione. In altre parole, l’io è soltanto l’insieme delle impressioni e delle percezioni che pur separate l’una dall’altra, per mezzo della facoltà dell’immaginazione vengono unite insieme, formando una sostanza. Le percezioni sono ovviamente l’una separata e distinta dall’altra, non possono esservi due percezioni (o impressioni) identiche; fra queste percezioni non v’è continuità ma solo interruzione fra una percezione e l’altra. La nostra immaginazione riempie questi “vuoti” percettivi di cui non siamo, in ultima istanza, coscienti. Quindi: noi non siamo altro che fasci e collezioni di differenti percezioni che si susseguono con una certa contiguità e rapidità. 
C’è dunque fra gli uomini questa idea che in un dato oggetto P vi sia un’invariabile e ininterrotta serie di attimi e dall’unione di questi attimi (conosciuti tramite la percezione sensibile) per mezzo dell’immaginazione, noi deriviamo il concetto di identità. In parole più tecniche:

(i) Successione di oggetti in relazione → Identità degli oggetti

L’enunciato (i) dice che, dato un oggetto qualunque P, esso è formato di vari “momenti temporali”, quali per esempio: <P1, P2, P3, …, Pn>. Noi, tramite la facoltà dell’immaginazione, colleghiamo questi stati di P l’uno all’altro deducendone l’identità. Tuttavia non abbiamo mai esperienza piena, pura e cruda, dell’identità. L’identità è piuttosto qualcosa che il nostro intelletto ipotizza e si rappresenta, ma non è una genuina condizione del mondo, non è una relazione reale degli oggetti che popolano il nostro mondo — almeno secondo Hume. Hume dice, piuttosto, che noi confondiamo la successione di oggetti con quella d’identità. La somiglianza fra questi due concetti è fonte di confusione ed errore — come potrebbero infatti questi vari P1, P2, …, Pn essere gli stessi oggetti se mutano nel tempo? La verità è piuttosto che questi sono oggetti diversi l’uno dall’altro, ma che per semplicità noi tendiamo per natura a unificare sotto l’etichetta di un unico e solo oggetto generale P. Possiamo dunque dire che:

(ii) Ogni oggetto è un’interruzione di stati che la nostra immaginazione mantiene uniti.

Ma allora ogni oggetto, percettivamente, è un’interruzione di stati e solo la nostra facoltà mentale tiene unito questo oggetto come un unicum. Dunque quali sono le condizioni di verità per dire che P è identico a P? In altre parole, quando è valida la formula “(P = P)”?

  • P = P se e solo se c’è una relazione di parti di P unite da (a) una relazione di somiglianza, (b) da contiguità spaziotemporale, (c) da una relazione causale.

Hume ci avverte tuttavia che queste condizioni di verità non fanno parte dell’oggetto P, ma del nostro modo di pensarlo. Ossia: poiché un oggetto P ha interruzioni temporali ed è un insieme di attimi, deve essere necessariamente il corso ininterrotto del pensiero quello che costruisce l’identità del dato oggetto P. Siamo noi a ritenerlo identico a sé stesso, ma non v’è nessuna legge naturale o evidenza sensibile che esso sia identico. Non c’è, in altre parole, una connessione reale e necessaria fra i vari P1, P2, …, Pn — se non posta da noi.
Ci viene poi detto che l’identità che la nostra mente postula viene mantenuta solo davanti a mutamenti graduali e quasi insensibili. Perché? Perché la nostra mente può subire più facilmente l’evolversi graduale di un oggetto P nel tempo e non quello improvviso. Per esempio: se Roberta nel tempo perde gradualmente peso, noi saremmo disposti a ritenere che quella sia sempre stata la stessa Roberta. Ma se Roberta, da un momento ad un altro, passasse da 70 kg a 50 kg tra tempo t ed un tempo t’, allora saremmo portati a credere che quella non sia proprio la stessa Roberta. Nel primo caso, noi non percepiamo le interruzioni all’interno dell’oggetto, nel secondo caso, invece, tale interruzione è coscientemente percepita e minaccia la continuità che credevamo sussistesse per quel dato oggetto. Fra i vari stati di un oggetto che sono in relazione fra loro, quindi, il cambiamento non deve essere brusco.

Identità personale

Per quanto concerne l’identità personale, ossia quella che attribuiamo alla mente umana, Hume dice palesemente che essa è un’identità fittizia. L’identità dell’io non è altro che l’unione delle percezioni. Ma ogni percezione è differente dall’altra e non v’è mai una reale percezione di un io che percepisce, ma solo delle percezioni percepite. L’argomento humeano dovrebbe essere il seguente:

(1) Tutto ciò che conosciamo, conosciamo tramite la percezione.
(2) Le percezioni sono plurali e l’insieme di tali percezioni forma l’Io.
(3) Se l’Io è formato dall’insieme delle percezioni, allora non c’è una singola percezione di un Io.
(4) L’Io è allora una supposizione dell’immaginazione e non un oggetto concreto del mondo.

I modi con cui queste percezioni si unificano e permettono il sopraggiungere dell’identità sono quelle che abbiamo menzionato sopra: somiglianza, contiguità, causalità. Queste sono le tre condizioni sufficienti e necessarie per presupporre l’identità degli oggetti all’interno della nostra mente e solo all’interno di essa. Queste tre condizioni producono il cammino ininterrotto del pensiero sulla via degli oggetti interrotti. In particolare la somiglianza è condizione necessaria per avere memoria (ossia una somiglianza fra impressioni), invece la causalità è necessaria perché lega insieme in un rapporto non simmetrico le nostre impressioni. La memoria, inoltre, ci permette di conoscere la continuità e l’estensione della successione delle nostre percezioni e perciò deve essere considerata l’origine dell’identità personale.
Quindi: (A) l’identità dipende dalla relazione fra idee, (B) se l’identità dipende fra idee e associazioni mentali di successioni di oggetti, allora essa non è una connessione reale fra oggetti del mondo, (C) se le relazioni fra idee possono scomparire o diminuire, allora non esiste un criterio metafisico-razionale — ossia non disponiamo di un criterio indipendente da noi — ma solo un criterio fenomenico-percettivo per decidere in quale momento precisamente gli oggetti acquistano o perdono l’identità con sé stessi.


Quindi è proprio così?
L’identità è solo un’idea che postuliamo noi e non una
proprietà intrinseca ed oggettiva delle cose esistenti?

∃x(φ)

Ci sono oggetti che non esistono?

La condizione metafisica di avere proprietà è del tutto separabile dalla condizione ontologica di esistere. La predicazione precede l’esistenza. Naturalmente, qualsiasi cosa esista ha proprietà, ma questo dipende dal fatto che avere proprietà è metafisicamente del tutto inevitabile — più della morte e delle tasse.
Nathan Salmon, Existence

È un detective dell’epoca vittoriana, abita al 221b di Baker Street, è il principale avversario di Moriarty ed ha inusuali capacità di osservazione e deduzione. Chi è? Ovviamente, è Sherlock Holmes! Quindi, di cosa stavo parlando? Di un oggetto (o individuo), anche questo è ovvio. Ogni oggetto ha delle proprietà (o caratteristiche) che ci permettono di individuarlo e rappresentarlo nella nostra mente e nei nostri discorsi. Il caro Sherlock ha la proprietà, per esempio, di fumare la pipa (almeno secondo l’immaginario comune) e la mia capacità di individuare questa sua caratteristica mi permette anche di identificarlo. C’è però un problema che sorge spontaneo: ma Sherlock Holmes, esiste anche?
No, Sherlock Holmes non esiste, nel senso di esistere che usualmente adoperiamo per riferirci all’esistenza di un vaso, di un gatto, di un amico, ecc. — non esiste, però c’è. E in che senso oggetti come Sherlock Holmes non esistono ma ci sono? Per comprenderlo dovremmo fare riferimento ad una teoria filosofica che è detta meinonghianismo.
Il meinonghianismo fa capo ad Alexius Meinong, la cui teoria voleva rispondere alla domanda:

  • Ci sono oggetti inesistenti?

Per il meinonghianismo, un oggetto è qualunque cosa che sia possibile rappresentare nella nostra mente. Dunque, anche una montagna d’oro o un asino con le ali sono oggetti, al pari di quanto lo siamo io, voi, il vostro animale domestico e così via. Alla domanda “Are there nonexistent objects?“, la risposta di Meinong è: sì, ci sono cose che non esistono. Ma non è contraddittorio dire che esistono oggetti che non sono e ci sono oggetti che non esistono? Potrei a tal punto formulare l’enunciato contraddittorio:

(i)  Ci sono oggetti per i quali è vero che non ci sono tali oggetti.

L’enunciato (i) è palesemente contraddittorio: sto affermando al contempo che gli oggetti a cui mi riferisco sono e non sono. Come si può evitare la contraddizione? La teoria degli oggetti meinonghista propone due princìpi per fronteggiare la problematicità di (i):

(P1) Principio di indipendenza: l’avere proprietà di un oggetto è indipendente dalla sua esistenza o inesistenza.
(P2) Principio di indifferenza: l’esistere o il non esistere di un oggetto non è parte di esso, però ogni oggetto non può fare a meno di esistere o non esistere.

Il primo principio slega gli oggetti da ogni impegno ontologico (per esempio, posso parlare di un unicorno senza dover assumere che l’unicorno esista, così come posso parlare di Sherlock Holmes senza dover assumere che esista un individuo a Baker Street che sta svolgendo indagini contro il Professor Moriarty in questo preciso istante). Il secondo principio —che riteniamo valido in base alla legge logica del terzo escluso— ci dice che l’oggetto, a prescindere dalla sua esistenza o inesistenza, sussiste o non sussiste con queste proprietà. Questo secondo punto è importante, perché ci permette di stilare un catalogo ontologico degli oggetti. Il catalogo ontologico risponde alla domanda: quali tipi di oggetti ci sono? Le categorie dell’essere di una teoria meinonghiana sono dunque:

  1. Oggetti esistenti e sussistenti.
  2. Oggetti inesistenti e sussistenti.
  3. Oggetti non esistenti e non sussistenti.

Gli oggetti esistenti e sussistenti sono gli oggetti reali (la sedia, il pc, il libro, la matita…). Gli oggetti inesistenti e sussistenti sono gli oggetti ideali (la montagna d’oro, Sherlock Holmes, il numero 7…). Di un oggetto ideale non si può mai dire correttamente che esista, ma solo che sussista. Infine, gli oggetti non esistenti e non sussistenti sono quegli oggetti il cui pensiero conduce ad un assurdo o ad una contraddizione (il triangolo rotondo, il più grande numero primo, la ciambella senza buco al centro…). Possiamo vedere come i primi due tipi di oggetti siano oggetti completi, mentre l’ultima categoria sia composta da oggetti incompleti. “Completo” in tal caso vuol dire “completamente determinato”, ossia un oggetto le cui proprietà sono chiare e distinte (come direbbe il buon Descartes). A tal punto dobbiamo anche esplicitare che la completezza di un oggetto dipende dalla sua sussistenza, in base ai condizionali:

(ii) L’esistenza implica la sussistenza, la non-sussistenza implica la non-esistenza.
(iii) Tutti gli oggetti che sussistono sono completi, ma non tutti gli oggetti completi esistono.

Possiamo ora riformulare il catalogo meinonghiano come segue:

  1. Oggetti esistenti e sussistenti = oggetti reali.
  2. Oggetti non esistenti e sussistenti = oggetti ideali.
  3. Oggetti non esistenti e non sussistenti = oggetti assurdi.

 

Controfattuali e mondi possibili

Ci sono delle proposizioni che enunciamo frequentemente nel nostro discorso quotidiano. Proposizioni della cui validità non siamo per nulla dubbiosi, ma delle cui condizioni di verità saremmo non sicuri. Alcuni di questi enunciati sono i condizionali. Un condizionale è un enunciato del tipo: “Se A, allora B”. Chiamiamo la prima parte antecedente, la seconda parte conseguente. Possiamo per esempio dire: “Se c’è differenza di pressione, allora c’è vento”. Questo condizionale è vero in qualunque caso, tranne nel caso in cui A (differenza di pressione) sia vero e B (presenza di vento) sia falso — perché le conseguenze B, altrimenti detto, non seguirebbero dalle loro premesse A e la relazione tra conseguente ed antecedente non sussisterebbe.
Ci sono però anche altri tipi di condizionale.
Un condizionale controfattuale è un condizionale che va contro i fatti, del tipo: “Se A non si fosse verificato, allora B non si sarebbe verificato”. Cioè una frase il cui antecedente è falso rispetto al nostro mondo. Un condizionale di questo tipo si rappresenta formalmente così:

A □⇒ B

“Se A si fosse verificato, allora si sarebbe verificato B”. Questo è un condizionale vero? O è falso? Come possiamo sapere se un controfattuale sia vero o falso? Facciamo degli esempi per comprenderne la problematicità dal punto di vista logico:

  1. Se Boccaccio fosse morto a quattro anni, non avrebbe mai scritto il Decameron.
  2. Se Boccaccio fosse morto a quattro anni, avrebbe scritto il Decameron.

Nei nostri esempi, siamo intuitivamente attratti dall’idea che 1. sia vero e 2. sia falso. Perché? Perché valutiamo la verità di un controfattuale sulla base della nozione di somiglianza. Se ritenere vero un controfattuale non ci allontana troppo da come i fatti sarebbero andati nel nostro mondo attuale —supponendo vero l’antecedente— allora quel controfattuale è vero. In altre parole, la relazione di somiglianza è una relazione ternaria fra il nostro mondo e almeno altri due possibili mondi ideali, ossia situazioni alternative alla nostra. Dobbiamo cioè domandarci: è più simile al nostro un mondo nel quale un bambino morto a 4 anni avesse scritto il Decameron o un mondo nel quale un bambino di 4 anni non l’avrebbe scritto? Intuitivamente è più simile al nostro un mondo nel quale si verifichi il caso che un bambino non possa, date le leggi della psicologia cognitiva, scrivere un’opera tanto complessa. I mondi che hanno più fatti in comune e più leggi naturali in comune saranno quelli più simili fra loro.
Ci sono quindi tre mondi: w,,. Nel nostro mondo w Boccaccio non muore a quattro anni e quindi scrive il Decameron. Nel mondo si verifica il caso 1. e nel mondo si verifica il caso 2. Partendo dal nostro mondo w, ci allontaniamo più da esso ritenendo vero il caso 2. e quindi giungendo al mondo . Dunque, in base alla relazione di somiglianza, il mondo più simile al nostro è w¹ e con esso il caso 1. Possiamo quindi enunciare le condizioni di verità (cioè le possibilità nei fatti che rendono veri i nostri condizionali) di un controfattuale così come segue:

Un controfattuale è vero quando: (i) non ci sono mondi possibili, (ii) esiste un A-mondo in cui c’è B che è più vicino al nostro di un A-mondo in cui B non c’è.

 La condizione (i) soddisfa banalmente le nostre intuizioni: se non ci sono mondi possibili, o situazioni alternative, da valutare, allora il nostro controfattuale è vero in senso vuoto e in ogni caso. La condizione (ii) è quella che soddisfa i requisiti che crediamo debbano essere soddisfatti per ritenere vero un controfattuale. Un mondo in cui Boccaccio è morto (un A-mondo, appunto) e in cui non ha scritto il Decameron (conseguente B) è più vicino a come le cose sarebbero andate nel nostro mondo.
Data la relazione di somiglianza tra mondi, dobbiamo dire che essa è una relazione formale in cui valgono riflessività, totalità e sono possibili pareggi. Che la relazione sia riflessiva vuol dire che il nostro è il mondo più vicino a sé stesso, quindi se supponiamo che l’antecedente A sia vero nel nostro mondo, dobbiamo valutare la situazione alternativa in base al nostro solo mondo. Che la relazione sia totale vuol dire che ogni serie di A-mondi è paragonabile. Che siano possibili pareggi vuol dire che non deve sempre esserci il mondo più simile al nostro: possono benissimo esserci due mondi tanto simili fra loro da essere equamente simili al nostro.

Identità e principio di Leibniz

Identità numerica e identità qualitativa

Le questioni ontologiche, ossia le questioni che riguardano ciò che esiste, non possono non assumere un principio, che è il principio a fondamento della metafisica occidentale: il principio d’identità. Perché tale principio è così importante? Sostanzialmente perché nessuno dubita (o dubiterebbe) del seguente assioma:

(Ax1) Tutto ciò che esiste è identico a sé e tutto ciò che è identico a sé esiste.

(Ax1) asserisce che il principio d’identità con se stessi è soddisfatto da qualunque cosa che è, è un requisito minimale per ogni cosa quello di essere identica a se stessa. Possiamo formalizzarle in modo intuitivo così come segue:

(Ax1*) Ex ⇔ I(x,x)

(Ax1*) dice sostanzialmente ciò che è stato espresso sopra: x esiste se e solo se x è identico a se stesso. Ma in sé (Ax1) e la sua formalizzazione non bastano a rendere conto di tutto ciò che è identico, ossia: (Ax1) ci permette di dire quando e se un dato oggetto è numericamente identico ma non quando è qualitativamente identico. (Ax1) fallisce nel trattare i casi di identità qualitativa. Facciamo un esempio:

(Es) Supponiamo vi siano due palle da biliardo, palla A e palla B. Supponiamo che A sia un 8 nero e che anche B sia un 8 nero. Possiamo dire che “A=B” è vero?

In (Es) le due palle sono ovviamente numericamente distinte, indi per cui (Ax1) viene meno e non possiamo dire che A è identico a B. (Ax1) fallisce perché i due oggetti A e B sono qualitativamente identici ma numericamente distinti, sono cioè non identici, ma uguali, in quanto condividono la stessa proprietà, ossia quella di essere una palla da biliardo e di essere un 8 nero. (Le proprietà sono le caratteristiche che gli oggetti possiedono —si dice che x soddisfa o istanzia o esemplifica una proprietà—, esempi di proprietà sono: essere alto 1,80 cm, essere biondo, avere gli occhi azzurri e così via). Abbiamo quindi individuato due tipi di identità: identità numerica identità qualitativa. L’identità numerica è una relazione che un oggetto intrattiene con se stesso, l’identità qualitativa è una relazione di similarità ed uguaglianza fra due oggetti distinti.


Identità sincronica e Principio di Leibniz

Nel caso (Es) ci siamo occupati di due oggetti uguali in uno stesso istante temporale.  L’identità in un tempo fisso è detta identità sincronica, cioè un oggetto è identico a se stesso in un dato tempo, possiamo indicizzare così: I(x, y)t, ossia x è identico a y in un tempo t. Per l’identità sincronica vale però un principio d’individuazione più forte: il principio di Leibniz. Il principio di Leibniz esprime due condizioni necessarie e sufficienti affinché si possano identificare gli oggetti, tali condizioni sono: a) l’identità degli indiscernibili e b) l’indiscernibilità degli identici.

a) Se x è indistinguibile da y, allora x e y condividono le stesse proprietà e se condividono le stesse proprietà allora sono identici.
b) Se x è identico a y, allora x e y condividono le stesse proprietà e se condividono le stesse proprietà allora sono indistinguibili.

Il corno b) del Principio di Leibniz non crea problemi ed è universalmente accettato, tuttavia non si può dire altrettanto del capo a): non è forse vero che potrebbero esserci oggetti uguali fra loro ma numericamente distinti? (Vedi (Es) sopra). Pare dunque che si debba fare un passo indietro e ammettere che il capo a) del Principio di Leibniz non sia una condizione necessaria per l’individuazione di un oggetto, ossia per fissare l’identità di un dato oggetto x. Ma allora come potremmo mai individuare le cose? Per ovviare al problema del capo a) sono state elaborate e proposte le seguenti tesi:

(F) Un oggetto è individuato a partire dal fascio di proprietà che lo compone. Nessun altro oggetto possiede esattamente lo stesso fascio.
(S) Un oggetto x è individuato a partire dalla sua determinazione spazio-temporale. È impossibile per un oggetto x essere nello stesso spazio di y nel medesimo istante.
(H) Ogni oggetto è dotato di una haecceitas, una proprietà che è istanziata soltanto da uno e un solo oggetto. La haecceitas di Socrate sarà per esempio la “socratità”. Le haecceitas non sono ulteriormente analizzabili o scomponibili.

Gli espedienti (F)-(H) sono piuttosto efficaci nell’ovviare ai problemi ed alle conseguenze controintuitive del capo a) del Principio di Leibniz, non possiamo qui discuterne le differenze, i rispettivi vantaggi e i rispettivi problemi, accontentiamoci perciò di un non molto filosofico: ad ognuno il suo! Si scelga il principio che si ritenga opportuno.


∃x(φ)