Non numerabilità dei reali

I numeri reali li conosciamo tutti, sono quei numeri tipo Pi greco (π = 3,141592…).
La cosa interessante di questi numeri è che non sono numerabili. Ora, se indichiamo l’insieme dei numeri reali con la lettera ℜ, allora diciamo che ℜ è numerabile se e solo se ogni elemento appartenente ad esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (1, 2, 3, …). Che cos’è la corrispondenza biunivoca? Niente di difficile, significa solo che: se ci immaginiamo i numeri disposti in ordine crescente su una retta, allora ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo numero naturale e viceversa. Possiamo immaginare la situazione così:

1, 456830 ↔ 1
1, 485003 ↔ 2
2, 068428 ↔ 3
2, 858003 ↔ 4
3, 264593 ↔ 5

E così via ad infinitum. Il punto è: instaurare una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi (quello dei numeri naturali e quello dei numeri reali) è possibile?
Secondo Georg Cantor (1845-1918) la risposta è: no, non è possibile. I numeri reali non sono numerabili. Detto altrimenti: nell’insieme dei numeri naturali diciamo che la serie dei numeri è discreta, ossia a 1 segue un 2, a 2 segue subito 3, a 3 segue subito 4 e così via. Nell’insieme dei reali, invece, la serie dei numeri è continua: fra 1 e 2 ci sono infiniti numeri! Cioè: 1, 00000 < 1, 00001 < 1, 00002 < … < 2.
Ma come si fa a dimostrare che i numeri reali, quindi, non sono numerabili? Eh la dimostrazione è anch’essa piuttosto semplice e fa uso del metodo diagonale (o diagonalizzazione) inventato dallo stesso Cantor.
Dimostrazione: per assurdo
Supponiamo che l’insieme dei reali sia numerabile e scriviamo:
(1) Num(ℜ)
Se questo insieme è numerabile, allora lo sarà anche l’intervallo fra 0 e 1 appartenente ai numeri reali, cioè la serie: 0, 00000 < 0, 000001  <  … <  1. Scriviamo quindi:
(2) Num([0, 1])
Se questo intervallo è numerabile, allora possiamo indicare tutti i numeri decimali all’interno di questo intervallo disponendoli in una matrice (tabella). Chiamiamo questi numeri compresi fra 0 e 1 con la lettera greca α, allora:
(3) < α1, α2, α3, α4 > ∈ ℜ
α1 = 0, 8 2 1
α2 = 0, 3 3 2
α3 = 0, 4 3 8
α4 = 0, 4 5 8 1
Per semplicità fermiamoci al quarto numero compreso fra 0 e 1, supponendo di averli enumerati tutti. Adesso, però, possiamo usare il metodo della diagonale di Cantor e prendere le cifre che ho evidenziato in grassetto per costruire un nuovo numero che chiamiamo β, che avrà la forma:
(4) β = 0, 3 8 4 1
Questo numero, appartiene ancora all’insieme dei numeri compresi fra 0 e 1 e sarà uno dei numeri che, presumibilmente, viene dopo α4. Tuttavia possiamo definire adesso un nuovo tipo di numero, β*, tale che questo β* differisca per costruzione da ogni altro numero appartenente all’intervallo fra 0 e 1. Come? Così:
(5) β* = ∀∈ β → n +1.
Ossia, possiamo costruire questo numero β* non compreso nella precedente tabella aggiungendo un +1 ad ogni numero decimale di β.
(6) β* = 0, 4 9 5 2
Questo nuovo numero, per come lo abbiamo costruito, differisce al più per una cifra da ogni altro numero che esiste nella tabella. Questo numero appartiene all’intervallo [0, 1]. Eh ma noi avevamo supposto che quell’intervallo fosse già stato enumerato completamente! Ergo: siamo caduti in un assurdo: pur supponendo di aver un intervallo completamente enumerato, esiste un numero non elencato nell’enumerazione di quell’intervallo. Quindi: l’intervallo fra 0 e 1 non è numerabile!
(7) ¬Num([0, 1])
E a maggior ragione se una sua parte non è numerabile, allora non sarà numerabile neanche l’intero insieme dei numeri reali. Quindi:
(8) ¬Num(ℜ).

QED

La dimostrazione è conclusa e, in modo ingegnoso ma semplice, siamo riusciti a dimostrare il teorema della non numerabilità dei numeri reali.


∃x(φ)

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Introduzione alla logica proposizionale

La logica è la scienza del ragionamento e del buon argomentare. In seno ad essa v’è più d’un unico sistema logico — che in genere può essere definito induttivamente fornendo un alfabeto sintattico più delle operazioni di base. Un sistema fondamentale è quello che prende il nome di “logica proposizionale”. Non è difficile intuire il motivo per cui questo sistema è detto proposizionale: esso ha a che fare con le proposizioni (gli enunciati). Procediamo per passi però!

  1. Una proposizione è ogni enunciato il cui valore può essere definito solo da vero o falso.

Dato 1., sappiamo che enunciati come “Sta piovendo”, “Roma è la capitale d’Italia”, “Napoli è una città densamente popolata” rientrano sotto il dominio della logica proposizionale (d’ora in avanti abbrevierò in LP), perché di questi enunciati possiamo dire se siano veri o falsi. Enunciati, invece, che non ammetto nessuno dei due valori di verità sono frasi interrogative (“Sta piovendo?”), frasi esclamative, imposizioni o ordini (“Plotone, avanti, marche!”) ed ovviamente frasi che denotano emozioni (“Mah!”). Ci sono poi enunciati predicativi (“Esiste almeno un x, tale che x è P”) e enunciati modalizzati (“Necessariamente ogni X è P”), questi ultimi due casi rientrano sotto il dominio di logiche più potenti di quella proposizionale, rispettivamente la  logica predicativa e la logica modale che non fanno uso delle tavole di verità (di queste tavole si parlerà nel seguito).
Possiamo riscrivere 1. come segue:

  1. 1*    P ⇒ {V, F}

1.1* dice che se un enunciato è una proposizione, allora ad esso può essere associato un valore: o vero, o falso. Questo è anche detto “principio di bivalenza”. Poiché, poi, vale il principio di non contraddizione, è chiaro che una proposizione può prendere uno ed uno solo dei due valori: non può una proposizione essere sia vera sia falsa.


Alfabeto di LP

In LP esiste un alfabeto con una sintassi contenente certe regole di formazione per un discorso. Ci sono innanzitutto variabili che rappresentano le proposizioni, sicché enunciati anche molto complessi possono essere facilmente manipolati (l’ultima sezione fornisce un esempio di ciò). Per esempio:

(1) Paolo ha i capelli ricci.
(2) Ernesto ha i capelli scuri.
(3) Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto ha i capelli scuri.
(4) Se Paolo ha i capelli ricci, allora gli elefanti sono mammiferi.

Formalizzando, cioè usando le variabili proposizionali, avrò una forma ridotta simbolica dei suddetti enunciati come segue:

(1)’ P
(2)’ E
(3)’ P & E
(4)’ P → M

Chiaramente il livello di complessità simbolica in (1)’-(4)’ si riduce e ad ogni proposizione di (1)-(4) viene associata, per così dire, una lettera che funge da nome provvisorio per quella data proposizione. (1)-(1)’ e (2)-(2)’ sono proposizioni semplici, invece (3)-(3)’ e (4)-(4)’ sono proposizioni composte. Le proposizioni composte sono formate dalla connessione di proposizioni semplici. Ciò che connette due o più proposizioni semplici sono, appunto, i connettivi. I connettivi proposizionali (cioè quelli vero-funzionali, ossia che possono prendere un valore vero o un valore falso) sono soltanto: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
L’alfabeto di LP sarà dunque il seguente:

(i)   Un insieme infinito di variabili proposizionali: P, Q, R…
(ii)  I connettivi logici: ¬, ∧, ∨, →, ↔
(iii) Parentesi ( , )

Da (i)-(iii) possiamo costruire le formule. Una formula ben formata (ossia, una formula tout court) è tale che essa (a) ogni variabile proposizionale è da sola una formula, (b) se P e Q sono formule, allora ¬φ, φ∧χ, φ∨χ, φ→χ, φ↔χ sono formule, (c) nient’altro è una formula. (Ho usato le lettere greche in (b) perché queste fungono da schemi di formule, cioè φ può essere composta da P∧Q per esempio).
Ora che disponiamo di un alfabeto, possiamo passare alle tavole di verità, che ci dicono quando sono vere proposizioni come “Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto li ha scuri”.


Operazioni coi connettivi:
le tavole di verità

Abbiamo detto che i connettivi sono i seguenti:
Negazione = non P = ¬P
Congiunzione = P & Q = P ∧ Q
Disgiunzione = P oppure Q = P ∨ Q
Condizionale = Se P allora Q = P → Q
Bicondizionale = P se e solo se Q = P ↔ Q

I valori di ogni singola proposizione, che sono scritti nella prima colonna a sinistra, vanno stabiliti arbitrariamente ma da ciò il calcolo deriva non per arbitrarietà. Nella colonna (o nelle colonne) a destra ci sono i risultati del calcolo, ossia i valori finali che la proposizione avrà. È come se a sinistra facessimo delle ipotesi intorno al valore di verità di una data proposizione ed a destra indicassimo il valore di verità che deriva dalle suddette ipotesi. Il calcolo si ottiene correlando il valore ipotetico istanziato dalla proposizione a sinistra ed il connettivo applicato a tale proposizione a destra.
La tavola di verità (che ci dice in quali condizioni un connettivo è vero) della negazione è la seguente:

P          ¬P
V           F
F           V

Detto in altre parole: se P è vero, allora non-P è falso. Se è falso P, allora non-P è vero. Sembra funzionare no? Poiché ci muoviamo in una logica che ha solo due valori di verità, ne consegue che se una proposizione P è vera, allora la sua negazione sarà falsa (dato che non possono essere veri insiemi un’affermazione e la sua negazione, altrimenti violeremmo il principio di non contraddizione).
La tavola di verità per la congiunzione è la seguente:

P   Q        P ∧ Q
V   V           V
F   V            F
V   F            F
F   F            F

La spiegazione è intuitiva: se P e Q sono entrambe singolarmente vere, allora la proposizione complessa “P & Q” è vera. Esempio: Paolo ha i capelli ricci ed è di carnagione scura è vero se e solo se Paolo ha sia i capelli ricci sia la carnagione scura. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri (altrimenti non sarebbe una contraddizione!).
La tavola di verità della disgiunzione è esattamente la duale di quella della disgiunzione:

P   Q        P ∨ Q
V   V            V
V   F            V
F   V            V
F   F            F

Una disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni semplici sono false (ed è vera quando almeno uno dei due disgiunti è vero). Esempio: “Al concorso possono partecipare o laureati in informatica o laureati in ingegneria informatica”, questa frase è vera (cioè si può partecipare al concorso) se e solo se ci si è laureati in almeno uno dei due corsi di laurea o in entrambi. In quanto tale, è una disgiunzione inclusiva. Se, invece, la disgiunzione fosse stata esclusiva (questa è una forma molto più vicina al nostro linguaggio naturale), allora P ∨¯ Q avrebbe significato che si sarebbe potuto partecipare al concorso solo se si era laureati in informatica ma non in ingegneria informatica e viceversa.
C’è poi il condizionale, o implicazione materiale:

P  Q      P → Q
V  V          V
V  F          F
F  V          V
F  F          V

Questo è il meno intuitivo dei connettivi. Esso dice che un’implicazione è falsa solo quando le premesse sono vere e le conseguenze sono false, vera in tutti gli altri casi. Non è difficile far vedere, però, che ciò non rispecchia l’uso che facciamo dell’implicazione nel nostro linguaggio naturale. Nel linguaggio naturale c’è sempre una correlazione causale fra premessa e conclusione, in LP invece ciò non accade perché ciò che conta sono solo {V, F}. Ciò che conta è che la conclusione sia vera, non importa come ci si è arrivati; se tramite una premessa falsa o tramite una premessa vera, non importa.
C’è infine il bicondizionale, o doppia implicazione, che è sostanzialmente la reiterazione dell’implicazione nel verso opposto: se P implica Q, allora Q implica P = P sse Q.

P   Q      P ↔ Q
V   V          V
F   V           F
V   F           F
F    F          V

Chiaramente il bicondizionale dice che fra P e Q c’è un’equivalenza logica. Un’equivalenza dice che il primo termine è equivalente al secondo termine se il secondo ha lo stesso valore del primo e viceversa. Dunque, la proposizione complessa che connette P e Q sarà vera solo quando P e Q saranno proposizioni equivalenti, ossia quando avranno lo stesso valore di verità: o entrambe vere, o entrambe false. In altre parole: quando si implicheranno a vicenda.


Dimostrazione della verità
di una proposizione complessa

A questo punto non è difficile far vedere che possiamo formalizzare in LP un discorso complesso nel modo seguente:
Sia data la seguente proposizione: “Se Pina è andata a fare la spesa, allora Pina è uscita di casa. Se Pina è uscita di casa, allora ha preso la macchina. Quindi Pina ha preso la macchina”.
Formalizziamo: P = Pina andata a fare la spesa, Q = Pina esce di casa, M = Pina guida la macchina. Avremo la seguente proposizione in LP:

((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)

Questo è il primo caso in cui abbiamo usato le parentesi. Le parentesi ci aiutano a distinguere il campo operativo dei connettivi e sono essenziali per la determinazione del significato della proposizione (a meno che non si stabiliscano regole di forza del legame dei connettivi. Questa è l’alternativa, legittima, ma inusuale).
Determiniamo ora il valore di verità della suddetta proposizione:

P  Q  M      ((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)
V  V  V            v       V      v          V      V
V  V  F            v       F       f          V       F
V  F  V            f        F       v         V       V
V  F  F            f        F       v         V       F
F  V  V            v       V       v         V      V
F  V  F            v       F        f         V      V
F  F  V            v       V        v        V      V
F  F  F             v      V        v        V      V

(N.B. Il numero dei valori di verità è aumentato perché ora bisogna considerare anche la terza variabile proposizionale. Le possibili combinazioni aumentano esponenzialmente sicché al posto di avere due V e due F per variabile, si avranno quattro V e quattro F per ogni variabile).
Nella tabella superiore ho scritto le lettere minuscole per indicare il valore di verità dei congiunti (che in questo caso erano anche implicazioni, quindi il loro valore è stato determinato dalla regola del condizionale) presi singolarmente ed i valori in lettere maiuscole per indicare il valore della congiunzione nella premessa e quello della conclusione. I valori in grassetto indicano il valore che determina la verità di tutta la proposizione, ossia il valore del connettivo principale. Poiché il connettivo principale è sempre vero, allora siamo difronte ad una tautologia. Se fosse stato sempre falso allora avremmo avuto difronte una contraddizione. Se fosse stato qualche volta vero e qualche volta falso allora avremmo avuto difronte una contingenza.


∃x(φ)

Il principio più saldo di tutti

Il principio più sicuro di tutti è quello a proposito del quale è impossibile sbagliarsi, poiché è necessario che quello che è tale sia anche il più conosciuto (tutti infatti si sbagliano a proposito delle cose che non conoscono), e che sia non ipotetico, perché quello che deve necessariamente avere colui che comprende qualsivoglia fra gli enti, questo non è un’ipotesi; […]. Che un tale principio è il più sicuro di tutti, è chiaro; ma qual è questo, dopo di ciò diciamolo. È impossibile che lo stesso attributo appartenga e non appartenga allo stesso soggetto nello stesso tempo e sotto lo stesso aspetto.
Aristotele, Metafisica, Libro IV, cap.3, 1005b 13-20.

Qual è il principio più saldo di tutti? Quel principio tale che:

  1. è impossibile ingannarsi intorno a tale principio;
  2. è il principio massimamente conosciuto;
  3. è la base per ogni altra conoscenza, quindi è un fondamento epistemico;
  4. è non ipotetico, non è una mera assunzione.

Qual è il principio che soddisfa le condizioni 1-4? Il principio di non contraddizione (da qui in avanti abbreviato in: PNC). Di questo principio — dato il fatto che è non ipotetico e che è una base per ogni altra conoscenza — è impossibile dubitare. Tuttavia, poiché questo stesso principio è l’assunzione fondamentale di ogni altra dimostrazione (dato il punto 3), allora ne consegue che non è dimostrabile. Perché? Perché dimostrarlo vuol dire presupporlo. Se S vuole dimostrare P, allora S si impegna nell’assunzione che una volta dimostrato P, non avrà dimostrato anche ¬P, bensì avrà escluso quest’ultimo (ossia la negazione di P). In altre parole: se S dimostra che piove, allora dimostra che non è il caso che sia bel tempo.
Ma allora, noi conduciamo tutte le nostre dimostrazioni e fondiamo il nostro intero modo di pensare su un principio che non è certo? Su un principio di cui non possiamo avere una giustificazione razionale o almeno una garanzia della sua validità?
Aristotele elabora una strategia: non possiamo dimostrare direttamente PNC, tuttavia possiamo confutare chi nega PNC — ciò equivale a fornire una dimostrazione indiretta, per via dialettica, di PNC. Una dimostrazione di questo tipo è più propriamente una confutazione. L’idea base è che: dimostrazione ≠ confutazione.
Aristotele propone quattro argomenti principali contro la negazione di PNC.

Primo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento dialettico

Il passo aristotelico è il seguente:

(a) Supponiamo che vi sia un negatore di PNC (che sostiene cioè che tutte le contraddizioni sono vere, o che almeno qualche contraddizione sia vera) che possiamo chiamare N.
(b)  Supponiamo che N dica qualcosa o non dica nulla.
(c)  Se N non dice nulla allora sarà un vegetale, se N dice qualcosa allora si impegna a sostenere quel qualcosa e non qualcos’altro.
(∴) Quindi se N parla dicendo qualcosa di significante, necessariamente presuppone PNC e la negazione di PNC risulta così insostenibile.

Caso pratico:
Supponiamo che N dica la semplice parola “uomo”. Se dice uomo, allora non dice “non-uomo”, perché altrimenti non sarebbe possibile neanche il linguaggio, quindi neanche il pensiero. Questo primo argomento è basilare, nel senso che Aristotele a partire da nessuna assunzione filosofica riesce a far funzionare l’argomento sul solo presupposto che il discorso significhi qualcosa — ed in effetti pare che questo sia davvero un presupposto innocuo e universalmente riconosciuto (cosa c’è di più naturale ed intuitivo se non il pensare che una parola ha un significato?).

Secondo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento metafisico

Il secondo argomento è più tecnico e prevede qualche assunzione metafisica (dunque, è meno basilare del primo argomento). Funziona però altrettanto bene (e forse con maggior profondità) del primo. Esso procede nel modo seguente:

(1) X e Y sono uguali se e solo se hanno la medesima definizione.
(2) Definizione = Individuare l’essenza di ciò che vogliamo definire.
(3) Uomo = Uomo.
(3.1) Se x è un Uomo, allora x ha un’essenza.
(3.2) L’essenza di Uomo è “Animale Razionale”.*
(4) U = AR.
(5) Necessariamente: U(x) ⇒ AR(x).
(6) Necessario U = Non possibile non-U.
(7) Non possibile: U(x) & ¬AR(x).
(8) Non possibile: U(x) & ¬U(x).
(∴) PNC

*[Abbrevio “Uomo” con U e “Animale Razionale” con AR. Uso la x come variabile, si può tradurre come “qualcosa”: “necessariamente: se qualcosa è un Uomo, allora è un Animale Razionale” si legge in (5). Ci sono poi i consueti simboli logici: ¬ per la negazione di una proprietà (ossia affermare il contrario di un predicato), & per indicare la congiunzione ed infine la freccia ⇒ che sta per la relazione di conseguenza logica].
Meno formalmente: Aristotele dice sostanzialmente che se presupponiamo che due oggetti, X e nonX, siano identici, essi lo saranno solo se avranno la stessa definizione, ossia la stessa essenza. Ma sappiamo anche che se X ha un’essenza, allora sarà necessariamente ciò che l’essenza dice intorno all’essere di X. E se è necessario che X sia tale, allora non sarà possibile che X non sia ciò che la sua essenza dice che è. Ma poiché l’essenza identifica (perché definisce) X, allora non è possibile che il suddetto oggetto sia X e nonX. E, dunque, risulterà che PNC è necessariamente valido.

Terzo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della trireme

Il terzo argomento è forse anche più diretto del secondo. Esso si sviluppa a partire dall’accettazione di una contraddizione, o di tutte le contraddizioni. (Al termine di ogni proposizione indicherò in grassetto e fra parentesi quadre le regole logiche adoperate per giustificare l’inferenza dal passo precedente al passo successivo. Ove non vi sia inferenza, userò “Ass” per indicare una generica assunzione. Userò “App” come sigla per applicazione di un’assunzione su un passo successivo della dimostrazione. Userò “MP” per indicare il modus ponens ossia: se è vero A e se è vero che A implica B, allora è vero B. Indico poi la riduzione all’assurdo con la sigla “RAA”).

(1) Supponiamo che PNC non sia valido. [Ass]
(2) Se PNC non è valido, allora ogni cosa è P ed è nonP. [Da (1)]
(3) Se X è un uomo, allora X non è una trireme. [Ass]
(4) Se X è un uomo, allora X è una trireme. [App di (1) su (3)]
(5) X è un uomo. [Ass]
(6) X non è una trireme. [MP fra (3) e (5)]
(7) X è una trireme. [MP fra (4) e (5)]
(8) Se X è un uomo, allora è una trireme. [Da (1) su (5)]
(∴) Ma “(8)” è assurdo, quindi PNC. [RAA]

L’argomentazione è chiara: se vale la negazione del principio di non contraddizione, allora: se qualcosa è un uomo, allora sarà anche non uomo. Se qualcosa è non uomo, allora sarà anche una trireme. Quindi se qualcosa è un uomo, allora è una trireme. Data l’assurdità di una simile proposizione, ne deriva che PNC deve essere necessariamente valido.

Quarto Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della vita pratica

In questo argomento non è necessario presentare una formalizzazione rigorosa. L’idea di Aristotele è la seguente: supponiamo che PNC non sia valido, allora ogni qualità contraria sarà al contempo vera di un medesimo oggetto. Supponiamo ora che un uomo malato debba decidere di curarsi o non curarsi. Se PNC non vale, allora per lui non farà alcuna differenza il curarsi o non curarsi. Ma supponiamo ancora che quest’uomo decida di curarsi, se sceglie ciò, allora non andrà a curarsi da un qualunque artigiano, operaio o bottegaio di altro tipo, bensì andrà da un medico. Pare, dunque, che sul piano pratico vi siano competenza tecniche che la negazione di PNC non può affliggere.
Così come, se un uomo trovandosi dinanzi ad un precipizio d’improvviso dovesse decidere sul da farsi, di certo giudicherà di valore diverso il cadere e il non cadere nel suddetto precipizio.
Quindi: è impossibile agire in conformità con la negazione di PNC.
Quindi: è vero PNC.


∃x(φ)

Teoria dell’evoluzione lamarckiana

Non è semplice parlare di Teoria dell’evoluzione, soprattutto perché di teorie dell’evoluzione ce ne sono state molteplici — non tutte equivalenti, anzi, per lo più ognuna con le sue peculiarità strutturali. V’è stata, per esempio, la teoria dell’evoluzione di Cuvier, poi quella di Linneo, poi quella di Buffon, poi di Erasmus Darwin, poi di Lamarck ed infine di Darwin (per tacere delle teorie successive, come la teoria degli equilibri punteggiati di Gould).
Tuttavia, sono le teorie di Lamarck e di Darwin ad essere considerate quelle che più d’ogni altra hanno dato il via alla biologia evoluzionistica — o alla biologia tout court. È da queste teorie, infatti, che un’idea di evoluzione biologica prende forma nel modo più compiuto; un’evoluzione senza Dio, senza volontà personificate, senza cause finale. Un’evoluzione il cui unico motore è la causa efficiente. In altre parole: la trasformazione (termine lamarckiano) o la variazione (termine darwiniano) avvengono se e solo se c’è una causa organica chimico-fisica che le sostiene. Entrambi gli scienziati sarebbero d’accordo nel dire che: la modificazione è causa della generazione di nuove specie (lascerò sottinteso questo punto nel seguito dell’esposizione).
In questa prima parte mi occuperò della teoria dell’evoluzione di Lamarck.


Tε(Λ)

La teoria dell’evoluzione (o meglio, della trasformazione) di Jean-Baptiste de Lamarck (1744-1829) la si ritrova nell’opera Philosophie zoologique, pubblicata nel 1809. Egli dapprima aveva riordinato il dominio dei Vermi e degli Insetti (per Cuvier, ad esempio, il granchio era ancora un insetto), dividendolo in esseri provvisti di colonna vertebrale ed in esseri sprovvisti di essa. Nasceva l’odierna classificazione in: vertebrati e invertebrati.
In seguito, Lamarck si accorse che il vecchio argomento teologico non funzionava (se c’è un orologio, allora c’è un orologiaio. Dunque: se c’è una natura ordinata di forme, deve esserci un Dio che le abbia create). Egli, anzi, rovesciò l’argomento proponendo una versione più semplice: aggregatesi fortuitamente in una commistione vari agenti inorganici, la combinazione di essi ha prodotto le prime semplicissime forme di materia organica. 
Lamarck a questo punto, però, si chiede: pur supponendo che le prime forme organiche fosse talmente semplici quanto batteri o funghi, come hanno poi potuto trasformarsi via via fino a giungere agli organismi tanto più complessi quanto sono gli attuali viventi? La risposta che Lamarck dà è: l’ambiente ha giocato un ruolo fondamentalmente istruttivo sulle prime forme e via via su tutte le altre che per successive trasformazioni si sono succedute l’una all’altra.
In altre parole: l’ambiente ha indotto la trasformazione, dando il via alla seguente successione:

(L)   Mod. Ambientale ⇒ Mod. Bisogni ⇒ Mod. Comportamentale ⇒ Mod. Abitudini ⇒ Mod. Anatomica ⇒ Mod. Fisiologica

Nell’enunciato (L) è condensata la teoria dell’evoluzione di Lamarck: una modificazione ambientale determina un cambiamento nei bisogni dell’entità biologica, a cui segue un cambiamento nei comportamenti per soddisfare questi nuovi bisogni, quindi anche un cambiamento nelle abitudini comportamentali, a cui segue infine una modificazione nella forma fisica e dunque una modificazione fisiologica.
Facciamo qualche esempio: la giraffa. Prima c’erano gli antenati della giraffa, i quali non avevano il collo lungo. L’ambienta ha tuttavia iniziato a mutare: magari sul terreno v’erano poche fonti vegetali di cui la giraffa dal collo corto potesse nutrirsi, però sui rami degli alberi, più in alto, v’erano rigogliosi fonti di nutrimento per l’animale. Lamarck presuppone che questo cambiamento influisca sui comportamenti e le abitudini della giraffa, finché, struggendosi per arrivare più in alto, questa acquisì negli esemplari successivi un collo via via sempre più lungo per brucare il fogliame più in alto.
Ma Lamarck, ad (L) aggiunge anche altre due leggi (di cui non è sua la paternità): (a) la legge dell’uso e del disuso, (b) la legge dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti.
La legge (a) dice che, quanto più un animale usa un organo, tanto più questo si svilupperà e quanto più un animale non fa uso di un organo, tanto più questo si atrofizzerà. La legge (b), invece, dice che dagli individui che hanno acquisito (o perduto) una certa caratteristica funzionale la progenie erediterà i suddetti caratteri funzionali.
La legge (a) è stata già esposta implicitamente in (L), la legge (b) definisce ulteriormente il fatto che le giraffe che avranno acquisito il collo lungo in seguito all’aumentato uso dei muscoli erettili del collo per giungere più in alto, trasmetteranno alla discendenza un collo già più lungo del normale.
Ma l’evoluzione lamarckiana non procede in modo unidirezionale; anzi gli esseri si trasformano sia per complessificazione sia per semplificazione. Prendiamo gli ultimi due esempi: la talpa ed il bradipo.

  1. Se la giraffa si è evoluta per complessificazione (poiché le sue trasformazioni sono avvenute per aumentato uso di un organo), la talpa si è invece evoluta per semplificazione. La talpa è divenuta cieca: perché? Perché adattandosi ad un ambiente sotterraneo, dove la luce scarseggia, l’utilizzo dell’organo della vista è risultato non soltanto infruttuoso ma addirittura inutile. In più, il continuo contatto con la terra avrebbe portato la talpa ad avere continue congiuntiviti ed infiammazioni dell’organo della vista, qualora fosse stato usato. Essendo inutile (o dannoso) per l’ambiente in cui la talpa sopravvive, l’occhio è andato atrofizzandosi per disuso, sicché la talpa si è evoluta per semplificazione organica.
  2. Il bradipo si è trasformato sia per uso sia per disuso. Osservandolo, vediamo che esso è un animale lento e goffo, sonnolente, come se fosse in un perenne stato letargico. Tuttavia il bradipo ha braccia molto forti e al posto delle “mani” possiede una sorta di serramanico che usa per aggrapparsi sugli alberi. Il bradipo, cioè, è un esempio vivente di trasformazione avvenuta contemporaneamente sia per uso sia per disuso: per vivere sugli alberi e non rischiare di cadere dai rami, ha ridotto al massimo la possibilità dei movimenti (trasformazione per disuso) e le mani si sono trasformate in una sorta di uncini affinché la presa sui rami fosse più salda e sicura (trasformazione per uso).

La teoria di Lamarck consiste quindi delle leggi della modificazione a partire dall’ambiente, più le leggi di uso/disuso e dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti; in formule possiamo scriverla così: (L)+[(a)+(b)] = Tε(Λ).

Il problema Gettier

Vi è in epistemologia (un settore della filosofia che si occupa dello studio della conoscenza) una teoria, che viene fatta risalire a Platone (sebbene egli si occupò solo della sua esposizione, senza sostenerla), che è oggi detta “standard view” sulla natura della conoscenza. In altre parole, tale teoria cerca di rispondere alla domanda: “Che cos’è la conoscenza?”.
A tale domanda segue spesso la risposta che la conoscenza sia opinione vera con delle prove a sostegno di tale opinione. Ma bisogna procedere per gradi e porre prima una definizione precisa. Partiamo innanzitutto da una chiara e non controversa assunzione:

(Ass) Conoscenza è sempre conoscenza di qualcosa.

La proposizione (Ass) è un’assunzione di base, dunque fondamentale. Come si potrebbe infatti dare conoscenza di nulla? Se si ha conoscenza di nulla, allora non si conosce nulla.

(Def) Conoscenza = Opinione vera giustificata
(Def1) Conoscenza di X = Opinione vera giustificata per X

In (Def) e (Def1) abbiamo definito la conoscenza come qualcosa che per essere tale deve soddisfare tre proprietà più semplici — tale modello viene spesso chiamato anche “modello addizionale” perché la conoscenza è l’addizione di “opinione”+”verità”+”giustificazione”. La conoscenza viene dunque ridotta a qualcos’altro di più fondamentale e primitivo, ossia a tre fattori, tali fattori insieme garantiscono la conoscenza di qualcosa. Pare, infatti, che per avere conoscenza di X noi dobbiamo innanzitutto credere che sussista X, poi che X sia vero ed infine avere delle prove per sostenere che X sia vero.
Facciamo un esempio: Alberto sa che c’è un cavallo nella stalla del suo maniero. Che cosa permette ad Alberto di sapere ciò? Alberto sa ciò perché: (a) crede che ci sia un cavallo nella sua stalla (come potrei, infatti, mai conoscere ciò a cui non credo o su cui non ho alcuna opinione?), (b) c’è effettivamente un cavallo nella stalla (a prescindere dal fatto che Alberto sia o meno cosciente di ciò), (c) Alberto ha visto che poche ore prima è arrivato un camion addetto al trasporto di animali vivi, in più suo padre qualche giorno prima gli aveva comunicato che sarebbero arrivati dei cavalli nell’arco di un mese al massimo, senza tuttavia conoscere quale fosse il giorno preciso di arrivo degli animali al maniero. Date le condizioni (a)-(c), pare che Alberto sia giustificato nell’opinare che vi sia almeno un cavallo nella stalla e tutti noi saremmo portati a dire che egli effettivamente sa che ci sono dei cavalli.


Il controesempio di Gettier

Ci fu però un filosofo, di nome Edmund Gettier, che nel 1963 pubblicò un articolo [Is Justified True Belief Knowledge? in Analysis 23] in cui mostrava come ci fossero dei casi che soddisfacevano le condizioni (a)-(c) della standard view senza tuttavia produrre l’esito sperato, ossia senza produrre conoscenza negli individui che erano i protagonisti di questi esempi (in termini tecnici, un esperimento mentale del genere teso ad invalidare una tesi che si assume valida, è detto “controesempio”).
Alberto, come abbiamo detto sopra, è giustificato nel credere che vi siano dei cavalli nella stalla. Tuttavia, ad una analisi più attenta, veniamo a sapere che (A) quelli che erano stati portati questa mattina dal camion non erano cavalli, bensì asini e (B) che il padre di Alberto aveva capito male riguardo a quale tipo di animale sarebbe stato portato al maniero (confondendo, supponiamo, i cavalli per gli asini). Tuttavia ci sono effettivamente dei cavalli all’interno della stalla, portati però dalla fattoria vicina, perché la stalla dei vicini doveva essere ristrutturata. Alberto, dunque, sa davvero che vi sono dei cavalli nella stalla date le sue giustificazioni o ha soltanto per un caso fortuito (e dunque, opinato-creduto e non conosciuto) azzeccato che vi fossero dei cavalli nella stalla?

Pare dunque che un controesempio di Gettier renda palese il fatto che la standard view non fornisca delle condizioni sufficienti e necessarie affinché si dia conoscenza, ma soltanto delle condizioni sufficienti.
L’algoritmo che ci permette di generare i controesempi di Gettier è molto semplice: assumiamo le condizioni di (Def), forniamo le premesse (le giustificazioni) “X1, … Xn” che permettono a qualcuno di conoscere Y secondo la standard view, poi si mostra come tali premesse fossero false ma che comunque Y sia valida. In termini formali possiamo riassumere così:

(G)  (p conosce Y) se e solo se (p ha ragioni per credere Y), ossia:
(G*) Kp(Y) ⇔ (X1, …, Xn) — [“K” sta per conoscere].

(1) Kp(X1, …, Xn ⇒ Y)            Assunzione
(2) ¬(X1, …, Xn)                       Premesse false
(3) Y                                          Conclusione vera comunque
(C) ¬(X1, …, Xn ⇔ Y)               Controesempio a (G)-(G*).

Risultati immagini per gettier problem

Il mio errore

Il mio problema è sempre stato questo: tratto le persone con più rispetto di quanto ne meritino. Non imparo mai, continuo a dirmi sempre che tutti meritano una seconda possibilità anche dopo avermi deluso, ma, inevitabilmente, tutti continuano a deludermi. Li giustifico, dico a me stesso che l’animo umano è volubile ed è una conseguenza di ciò il fatto che una volta commesso un errore, questo si può perdonare. E questo è puntualmente un errore al quale non so porre rimedio. — Ma come io perdono gli altri, non dovrei forse perdonare me stesso per dare comunque e sempre a costoro il meglio di me?
C’è qualcosa di paradossale nel mio errore: se dessi sempre a tutti una seconda opportunità, allora continuerei a commettere il mio errore più di una seconda volta e quindi non dovrei perdonarmi, se decidessi di non commettere più il mio errore allora non dovrei più dare a tutti la seconda possibilità che avevo assunto meritassero.

Qui la logica non mi aiuta, la morale sì: meglio veder soffrire me e solo me piuttosto che voi — piuttosto che te.


∃x(φx)

Esiste il bene vero?

Molti pensano che il bene vero sia quello disinteressato. Assumiamo che sia così. Supponiamo poi che esista almeno un individuo, diciamo P, che agisce entro il dominio del bene.
Se il bene vero è disinteressato allora un agente P avrà interesse a fare il bene in maniera disinteressata. Se P è interessato a fare del bene disinteressato nei confronti di qualcun altro, allora P fa del bene sotto la spinta di un interesse. Quindi il bene non è disinteressato.

Allora il bene vero non esiste?
O forse esiste solo in quanto surrogato di un’idea pura?


∃x(φ)
2017, giugno 15