Che cos’è un sillogismo?

Che cos’è un sillogismo? Un argomento formato da tre proposizioni tali che: le prime due hanno fra loro un termine in comune e due termini differenti, mentre la terza proposizione contiene i due termini differenti che appartenevano alle prime due. Le prime due proposizioni sono le premesse, la terza è la conclusione delle premesse.
Intuitivamente un sillogismo ha la forma:

M – P    (Premessa 1)
S – M    (Premessa 2)
———
S – P    (Conclusione)

La sillogistica è una logica dei termini (term logic), cioè la validità di un sillogismo è sensibile alla disposizione ed al tipo dei termini che occorrono in esso. I termini M, P ed S sono fra loro differenti e li abbiamo così chiamati in modo non casuale. M è il termine medio, perché compare in entrambe le premesse; P è il termine maggiore, ossia il predicato; S è il termine minore, cioè il soggetto. S e P sono anche detti essere gli estremi. (N.B.: l’ordine di M, P ed S nelle premesse può variare, invece nella conclusione l’ordine da rispettare è sempre che il predicato sia preceduto dal soggetto).
Ovviamente la proposizione dove sta il termine maggiore è la premessa maggiore, così come la proposizione dove sta il termine minore è la premessa minore. (Il predicato è il termine maggiore perché ha estensione più ampia rispetto al soggetto: un predicato può essere attribuito a molti soggetti, ma un soggetto può avere un numero limitato di predicati e appartiene solo a se stesso; in altre parole: se Paolo ha i capelli scuri allora il predicato “avere i capelli scuri” non appartiene solo a Paolo ma anche a molti altri soggetti, invece l’essere quello specifico Paolo appartiene solo a quel Paolo).
Veniamo ora alle proposizioni del sillogismo. Esse possono essere di quattro tipi: (a) universale affermativa, (e) universale negativa, (i) particolare affermativa, (o) particolare negativa. Usiamo ora le vocali in parentesi per indicare in che rapporto sono i termini S, P, M. Cioè:
S a P = Ogni Salernitano è una Persona.
S e P = Nessuno Stambecco è un Pinguino.
S i P = Qualche Salernitano è una Persona.
S o P = Qualche Stambecco non è un Pinguino.
In altre parole: le prime due proposizioni attribuiscono un predicato a tutti (o a nessuno) dei soggetti in questione, le ultime due invece attribuiscono un predicato a qualcuno e a qualcuno no. L’universalità o la particolarità sono dette essere la quantità del sillogismo; l’affermazione o la negazione determinano la qualità di esso. Fra queste proposizioni valgono delle relazioni, esemplificate dal celebre quadrato aristotelico.

Risultati immagini per quadrato aristotelico

L’universale affermativa si contraddice con la particolare negativa e viceversa (cioè, se l’una è vera allora l’altra è falsa e viceversa). L’universale affermativa è contraria all’universale negativa (cioè, possono essere entrambe false ma non entrambe vere). La particolare affermativa è subcontraria con la particolare negativa (cioè, possono essere entrambe vere ma non entrambe false). La subalternità è data dal fatto che le universali implicano le corrispettive particolari.

Possiamo costruire, ora, vari sillogismi. Alcuni sono anche divertenti, del tipo: “Se io so nuotare ed i pesci sanno nuotare, allora io sono un pesce”. Divertenti, però, lo sono finché non si coglie il motivo per cui sono sillogismi non validi. Ed è di questa nozione che dovremo occuparci ora: quali sono i sillogismi validi e quali quelli non validi?
Diciamo, innanzitutto, che un sillogismo è valido se e solo se la conclusione segue dalla premesse. In altri termini: data la verità delle premesse non può che seguire la verità della conclusione (la verità e la validità, comunque, sono due nozioni differenti. Si può costruire un sillogismo valido pur disponendo di premesse false: se Roma è capitale d’Irlanda e il Duomo di Firenze è a Roma, allora il Duomo di Firenze è nella capitale d’Irlanda). Notiamo poi due fatti metateorici: un sillogismo per essere valido deve contenere almeno un’universalità (di qualunque qualità) ed almeno una premessa deve essere di qualità affermativa (se si negasse tutto di ogni termine, allora fra essi non sussisterebbe alcuna relazione di predicazione).
Beh ma se ci chiediamo quali sono i sillogismi validi, allora ciò comporta che ci chiediamo anche: quali sono i sillogismi? Ossia, quanti tipi di sillogismo esistono? I sillogismi si dividono per figure (ogni figura è diversa dall’altra per via della disposizione differente dei termini nelle premesse), se ne contano quattro ma Aristotele (e tanto basta ai nostri scopi attuali) ne esplicitò soltanto tre. Esse sono le seguenti:

I figura       II figura      III figura
M – P             P – M           M – P
S – M              S – M           M – S
S – P               S – P             S – P

Nella I figura il medio si inverte: è prima soggetto e poi predicato. Nella II figura il medio è sempre predicato. Nella III figura il medio è sempre soggetto. Ci sono 256 sillogismi, ma la classe dei sillogismi validi è ben meno vasta: sono soltanto 24 i sillogismi validi. Di questi 24 ne enunceremo soltanto 14 (i sillogismi principali dalla I alla III figura). Come faccio però a ricordare quali sono quelli validi? I logici scolastici, per fortuna, hanno dato a questi schemi d’argomento dei nomi, al cui interno sono presenti le vocali che inizialmente abbiamo adottato per il quadrato aristotelico, per facilitarne la memorizzazione. Cioè:
I figura: Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
II figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
III figura: Datisi, Darapti, Disamis, Felapton, Ferison, Bocardo.
Se ci si fa caso, un esempio di Barbara è già stato formalmente istanziato nell’introduzione. In pratica, invece, un’istanza di esso potrebbe essere la seguente:

BARBARA:
Ogni italiano è europeo.
Ogni napoletano è italiano.
—————————————
Ogni napoletano è europeo.

Intuitivamente ci sembra che sia un sillogismo valido. Come possiamo, però, dimostrare che lo sia? Beh non possiamo occuparci ora della dimostrazione dei sillogismi, per adesso ci basta soltanto una loro velocissima presentazione. Tuttavia per dimostrare questi di I figura si potrebbe usare o un po’ di teoria degli insiemi (diagrammi di Eulero-Venn) oppure li si potrebbe dimostrare per assurdo.
Continuiamo, invece, con l’esposizione degli altri sillogismi.

CELARENT                                
Nessun felino ha le ali.
Ogni leone è un felino.
———————————
Nessun leone ha le ali.

FERIO
Nessun animale è un alieno.
Qualche cane è un animale.
——————————————
Qualche cane non è un alieno.

(Lasciamo Darii ai volenterosi! Tanto è analogo ai precedenti). Vediamo ora prima un sillogismo di II figura e poi uno di terza figura (gli altri sono analoghi, se vi va potete divertirvi a inventarne quanti ne volete seguendo i nomi che sono stati esibiti poc’anzi).

BAROCO (II figura)
Ogni genitore ha un figlio.
Qualche uomo non ha figli.
———————————————
Qualche uomo non è genitore.

FERISON (III figura)
Nessuna pietra è un animale.
Qualche pietra è un oggetto materiale.
————————————————————
Qualche oggetto materiale non è un animale.

Si noti, infine, che alcuni di questi sillogismi sono validi se e solo se i termini in questione non sono vuoti, ossia solo se l’oggetto che il termine denota esiste davvero. Se così non fosse, allora alcuni sillogismi (cioè quelli in cui almeno una delle tre proposizioni ha quantità particolare) non sarebbero validi. Di norma, per evitare questo spiacevole inconveniente, assumiamo il cosiddetto assioma di Aristotele: per ogni termine M, c’è sempre almeno un individuo che appartiene all’estensione di M. Più formalmente ma equivalentemente: “M i M” è vera per ogni M.


∃x(φ)

 

 

 

Annunci

Il principio più saldo di tutti

Il principio più sicuro di tutti è quello a proposito del quale è impossibile sbagliarsi, poiché è necessario che quello che è tale sia anche il più conosciuto (tutti infatti si sbagliano a proposito delle cose che non conoscono), e che sia non ipotetico, perché quello che deve necessariamente avere colui che comprende qualsivoglia fra gli enti, questo non è un’ipotesi; […]. Che un tale principio è il più sicuro di tutti, è chiaro; ma qual è questo, dopo di ciò diciamolo. È impossibile che lo stesso attributo appartenga e non appartenga allo stesso soggetto nello stesso tempo e sotto lo stesso aspetto.
Aristotele, Metafisica, Libro IV, cap.3, 1005b 13-20.

Qual è il principio più saldo di tutti? Quel principio tale che:

  1. è impossibile ingannarsi intorno a tale principio;
  2. è il principio massimamente conosciuto;
  3. è la base per ogni altra conoscenza, quindi è un fondamento epistemico;
  4. è non ipotetico, non è una mera assunzione.

Qual è il principio che soddisfa le condizioni 1-4? Il principio di non contraddizione (da qui in avanti abbreviato in: PNC). Di questo principio — dato il fatto che è non ipotetico e che è una base per ogni altra conoscenza — è impossibile dubitare. Tuttavia, poiché questo stesso principio è l’assunzione fondamentale di ogni altra dimostrazione (dato il punto 3), allora ne consegue che non è dimostrabile. Perché? Perché dimostrarlo vuol dire presupporlo. Se S vuole dimostrare P, allora S si impegna nell’assunzione che una volta dimostrato P, non avrà dimostrato anche ¬P, bensì avrà escluso quest’ultimo (ossia la negazione di P). In altre parole: se S dimostra che piove, allora dimostra che non è il caso che sia bel tempo.
Ma allora, noi conduciamo tutte le nostre dimostrazioni e fondiamo il nostro intero modo di pensare su un principio che non è certo? Su un principio di cui non possiamo avere una giustificazione razionale o almeno una garanzia della sua validità?
Aristotele elabora una strategia: non possiamo dimostrare direttamente PNC, tuttavia possiamo confutare chi nega PNC — ciò equivale a fornire una dimostrazione indiretta, per via dialettica, di PNC. Una dimostrazione di questo tipo è più propriamente una confutazione. L’idea base è che: dimostrazione ≠ confutazione.
Aristotele propone quattro argomenti principali contro la negazione di PNC.

Primo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento dialettico

Il passo aristotelico è il seguente:

(a) Supponiamo che vi sia un negatore di PNC (che sostiene cioè che tutte le contraddizioni sono vere, o che almeno qualche contraddizione sia vera) che possiamo chiamare N.
(b)  Supponiamo che N dica qualcosa o non dica nulla.
(c)  Se N non dice nulla allora sarà un vegetale, se N dice qualcosa allora si impegna a sostenere quel qualcosa e non qualcos’altro.
(∴) Quindi se N parla dicendo qualcosa di significante, necessariamente presuppone PNC e la negazione di PNC risulta così insostenibile.

Caso pratico:
Supponiamo che N dica la semplice parola “uomo”. Se dice uomo, allora non dice “non-uomo”, perché altrimenti non sarebbe possibile neanche il linguaggio, quindi neanche il pensiero. Questo primo argomento è basilare, nel senso che Aristotele a partire da nessuna assunzione filosofica riesce a far funzionare l’argomento sul solo presupposto che il discorso significhi qualcosa — ed in effetti pare che questo sia davvero un presupposto innocuo e universalmente riconosciuto (cosa c’è di più naturale ed intuitivo se non il pensare che una parola ha un significato?).

Secondo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento metafisico

Il secondo argomento è più tecnico e prevede qualche assunzione metafisica (dunque, è meno basilare del primo argomento). Funziona però altrettanto bene (e forse con maggior profondità) del primo. Esso procede nel modo seguente:

(1) X e Y sono uguali se e solo se hanno la medesima definizione.
(2) Definizione = Individuare l’essenza di ciò che vogliamo definire.
(3) Uomo = Uomo.
(3.1) Se x è un Uomo, allora x ha un’essenza.
(3.2) L’essenza di Uomo è “Animale Razionale”.*
(4) U = AR.
(5) Necessariamente: U(x) ⇒ AR(x).
(6) Necessario U = Non possibile non-U.
(7) Non possibile: U(x) & ¬AR(x).
(8) Non possibile: U(x) & ¬U(x).
(∴) PNC

*[Abbrevio “Uomo” con U e “Animale Razionale” con AR. Uso la x come variabile, si può tradurre come “qualcosa”: “necessariamente: se qualcosa è un Uomo, allora è un Animale Razionale” si legge in (5). Ci sono poi i consueti simboli logici: ¬ per la negazione di una proprietà (ossia affermare il contrario di un predicato), & per indicare la congiunzione ed infine la freccia ⇒ che sta per la relazione di conseguenza logica].
Meno formalmente: Aristotele dice sostanzialmente che se presupponiamo che due oggetti, X e nonX, siano identici, essi lo saranno solo se avranno la stessa definizione, ossia la stessa essenza. Ma sappiamo anche che se X ha un’essenza, allora sarà necessariamente ciò che l’essenza dice intorno all’essere di X. E se è necessario che X sia tale, allora non sarà possibile che X non sia ciò che la sua essenza dice che è. Ma poiché l’essenza identifica (perché definisce) X, allora non è possibile che il suddetto oggetto sia X e nonX. E, dunque, risulterà che PNC è necessariamente valido.

Terzo Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della trireme

Il terzo argomento è forse anche più diretto del secondo. Esso si sviluppa a partire dall’accettazione di una contraddizione, o di tutte le contraddizioni. (Al termine di ogni proposizione indicherò in grassetto e fra parentesi quadre le regole logiche adoperate per giustificare l’inferenza dal passo precedente al passo successivo. Ove non vi sia inferenza, userò “Ass” per indicare una generica assunzione. Userò “App” come sigla per applicazione di un’assunzione su un passo successivo della dimostrazione. Userò “MP” per indicare il modus ponens ossia: se è vero A e se è vero che A implica B, allora è vero B. Indico poi la riduzione all’assurdo con la sigla “RAA”).

(1) Supponiamo che PNC non sia valido. [Ass]
(2) Se PNC non è valido, allora ogni cosa è P ed è nonP. [Da (1)]
(3) Se X è un uomo, allora X non è una trireme. [Ass]
(4) Se X è un uomo, allora X è una trireme. [App di (1) su (3)]
(5) X è un uomo. [Ass]
(6) X non è una trireme. [MP fra (3) e (5)]
(7) X è una trireme. [MP fra (4) e (5)]
(8) Se X è un uomo, allora è una trireme. [Da (1) su (5)]
(∴) Ma “(8)” è assurdo, quindi PNC. [RAA]

L’argomentazione è chiara: se vale la negazione del principio di non contraddizione, allora: se qualcosa è un uomo, allora sarà anche non uomo. Se qualcosa è non uomo, allora sarà anche una trireme. Quindi se qualcosa è un uomo, allora è una trireme. Data l’assurdità di una simile proposizione, ne deriva che PNC deve essere necessariamente valido.

Quarto Argomento a sostegno di PNC
ovvero: l’argomento della vita pratica

In questo argomento non è necessario presentare una formalizzazione rigorosa. L’idea di Aristotele è la seguente: supponiamo che PNC non sia valido, allora ogni qualità contraria sarà al contempo vera di un medesimo oggetto. Supponiamo ora che un uomo malato debba decidere di curarsi o non curarsi. Se PNC non vale, allora per lui non farà alcuna differenza il curarsi o non curarsi. Ma supponiamo ancora che quest’uomo decida di curarsi, se sceglie ciò, allora non andrà a curarsi da un qualunque artigiano, operaio o bottegaio di altro tipo, bensì andrà da un medico. Pare, dunque, che sul piano pratico vi siano competenza tecniche che la negazione di PNC non può affliggere.
Così come, se un uomo trovandosi dinanzi ad un precipizio d’improvviso dovesse decidere sul da farsi, di certo giudicherà di valore diverso il cadere e il non cadere nel suddetto precipizio.
Quindi: è impossibile agire in conformità con la negazione di PNC.
Quindi: è vero PNC.


∃x(φ)