Che cos’è un sillogismo?

Che cos’è un sillogismo? Un argomento formato da tre proposizioni tali che: le prime due hanno fra loro un termine in comune e due termini differenti, mentre la terza proposizione contiene i due termini differenti che appartenevano alle prime due. Le prime due proposizioni sono le premesse, la terza è la conclusione delle premesse.
Intuitivamente un sillogismo ha la forma:

M – P    (Premessa 1)
S – M    (Premessa 2)
———
S – P    (Conclusione)

La sillogistica è una logica dei termini (term logic), cioè la validità di un sillogismo è sensibile alla disposizione ed al tipo dei termini che occorrono in esso. I termini M, P ed S sono fra loro differenti e li abbiamo così chiamati in modo non casuale. M è il termine medio, perché compare in entrambe le premesse; P è il termine maggiore, ossia il predicato; S è il termine minore, cioè il soggetto. S e P sono anche detti essere gli estremi. (N.B.: l’ordine di M, P ed S nelle premesse può variare, invece nella conclusione l’ordine da rispettare è sempre che il predicato sia preceduto dal soggetto).
Ovviamente la proposizione dove sta il termine maggiore è la premessa maggiore, così come la proposizione dove sta il termine minore è la premessa minore. (Il predicato è il termine maggiore perché ha estensione più ampia rispetto al soggetto: un predicato può essere attribuito a molti soggetti, ma un soggetto può avere un numero limitato di predicati e appartiene solo a se stesso; in altre parole: se Paolo ha i capelli scuri allora il predicato “avere i capelli scuri” non appartiene solo a Paolo ma anche a molti altri soggetti, invece l’essere quello specifico Paolo appartiene solo a quel Paolo).
Veniamo ora alle proposizioni del sillogismo. Esse possono essere di quattro tipi: (a) universale affermativa, (e) universale negativa, (i) particolare affermativa, (o) particolare negativa. Usiamo ora le vocali in parentesi per indicare in che rapporto sono i termini S, P, M. Cioè:
S a P = Ogni Salernitano è una Persona.
S e P = Nessuno Stambecco è un Pinguino.
S i P = Qualche Salernitano è una Persona.
S o P = Qualche Stambecco non è un Pinguino.
In altre parole: le prime due proposizioni attribuiscono un predicato a tutti (o a nessuno) dei soggetti in questione, le ultime due invece attribuiscono un predicato a qualcuno e a qualcuno no. L’universalità o la particolarità sono dette essere la quantità del sillogismo; l’affermazione o la negazione determinano la qualità di esso. Fra queste proposizioni valgono delle relazioni, esemplificate dal celebre quadrato aristotelico.

Risultati immagini per quadrato aristotelico

L’universale affermativa si contraddice con la particolare negativa e viceversa (cioè, se l’una è vera allora l’altra è falsa e viceversa). L’universale affermativa è contraria all’universale negativa (cioè, possono essere entrambe false ma non entrambe vere). La particolare affermativa è subcontraria con la particolare negativa (cioè, possono essere entrambe vere ma non entrambe false). La subalternità è data dal fatto che le universali implicano le corrispettive particolari.

Possiamo costruire, ora, vari sillogismi. Alcuni sono anche divertenti, del tipo: “Se io so nuotare ed i pesci sanno nuotare, allora io sono un pesce”. Divertenti, però, lo sono finché non si coglie il motivo per cui sono sillogismi non validi. Ed è di questa nozione che dovremo occuparci ora: quali sono i sillogismi validi e quali quelli non validi?
Diciamo, innanzitutto, che un sillogismo è valido se e solo se la conclusione segue dalla premesse. In altri termini: data la verità delle premesse non può che seguire la verità della conclusione (la verità e la validità, comunque, sono due nozioni differenti. Si può costruire un sillogismo valido pur disponendo di premesse false: se Roma è capitale d’Irlanda e il Duomo di Firenze è a Roma, allora il Duomo di Firenze è nella capitale d’Irlanda). Notiamo poi due fatti metateorici: un sillogismo per essere valido deve contenere almeno un’universalità (di qualunque qualità) ed almeno una premessa deve essere di qualità affermativa (se si negasse tutto di ogni termine, allora fra essi non sussisterebbe alcuna relazione di predicazione).
Beh ma se ci chiediamo quali sono i sillogismi validi, allora ciò comporta che ci chiediamo anche: quali sono i sillogismi? Ossia, quanti tipi di sillogismo esistono? I sillogismi si dividono per figure (ogni figura è diversa dall’altra per via della disposizione differente dei termini nelle premesse), se ne contano quattro ma Aristotele (e tanto basta ai nostri scopi attuali) ne esplicitò soltanto tre. Esse sono le seguenti:

I figura       II figura      III figura
M – P             P – M           M – P
S – M              S – M           M – S
S – P               S – P             S – P

Nella I figura il medio si inverte: è prima soggetto e poi predicato. Nella II figura il medio è sempre predicato. Nella III figura il medio è sempre soggetto. Ci sono 256 sillogismi, ma la classe dei sillogismi validi è ben meno vasta: sono soltanto 24 i sillogismi validi. Di questi 24 ne enunceremo soltanto 14 (i sillogismi principali dalla I alla III figura). Come faccio però a ricordare quali sono quelli validi? I logici scolastici, per fortuna, hanno dato a questi schemi d’argomento dei nomi, al cui interno sono presenti le vocali che inizialmente abbiamo adottato per il quadrato aristotelico, per facilitarne la memorizzazione. Cioè:
I figura: Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
II figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
III figura: Datisi, Darapti, Disamis, Felapton, Ferison, Bocardo.
Se ci si fa caso, un esempio di Barbara è già stato formalmente istanziato nell’introduzione. In pratica, invece, un’istanza di esso potrebbe essere la seguente:

BARBARA:
Ogni italiano è europeo.
Ogni napoletano è italiano.
—————————————
Ogni napoletano è europeo.

Intuitivamente ci sembra che sia un sillogismo valido. Come possiamo, però, dimostrare che lo sia? Beh non possiamo occuparci ora della dimostrazione dei sillogismi, per adesso ci basta soltanto una loro velocissima presentazione. Tuttavia per dimostrare questi di I figura si potrebbe usare o un po’ di teoria degli insiemi (diagrammi di Eulero-Venn) oppure li si potrebbe dimostrare per assurdo.
Continuiamo, invece, con l’esposizione degli altri sillogismi.

CELARENT                                
Nessun felino ha le ali.
Ogni leone è un felino.
———————————
Nessun leone ha le ali.

FERIO
Nessun animale è un alieno.
Qualche cane è un animale.
——————————————
Qualche cane non è un alieno.

(Lasciamo Darii ai volenterosi! Tanto è analogo ai precedenti). Vediamo ora prima un sillogismo di II figura e poi uno di terza figura (gli altri sono analoghi, se vi va potete divertirvi a inventarne quanti ne volete seguendo i nomi che sono stati esibiti poc’anzi).

BAROCO (II figura)
Ogni genitore ha un figlio.
Qualche uomo non ha figli.
———————————————
Qualche uomo non è genitore.

FERISON (III figura)
Nessuna pietra è un animale.
Qualche pietra è un oggetto materiale.
————————————————————
Qualche oggetto materiale non è un animale.

Si noti, infine, che alcuni di questi sillogismi sono validi se e solo se i termini in questione non sono vuoti, ossia solo se l’oggetto che il termine denota esiste davvero. Se così non fosse, allora alcuni sillogismi (cioè quelli in cui almeno una delle tre proposizioni ha quantità particolare) non sarebbero validi. Di norma, per evitare questo spiacevole inconveniente, assumiamo il cosiddetto assioma di Aristotele: per ogni termine M, c’è sempre almeno un individuo che appartiene all’estensione di M. Più formalmente ma equivalentemente: “M i M” è vera per ogni M.


∃x(φ)

 

 

 

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Non numerabilità dei reali

I numeri reali li conosciamo tutti, sono quei numeri tipo Pi greco (π = 3,141592…).
La cosa interessante di questi numeri è che non sono numerabili. Ora, se indichiamo l’insieme dei numeri reali con la lettera ℜ, allora diciamo che ℜ è numerabile se e solo se ogni elemento appartenente ad esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (1, 2, 3, …). Che cos’è la corrispondenza biunivoca? Niente di difficile, significa solo che: se ci immaginiamo i numeri disposti in ordine crescente su una retta, allora ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo numero naturale e viceversa. Possiamo immaginare la situazione così:

1, 456830 ↔ 1
1, 485003 ↔ 2
2, 068428 ↔ 3
2, 858003 ↔ 4
3, 264593 ↔ 5

E così via ad infinitum. Il punto è: instaurare una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi (quello dei numeri naturali e quello dei numeri reali) è possibile?
Secondo Georg Cantor (1845-1918) la risposta è: no, non è possibile. I numeri reali non sono numerabili. Detto altrimenti: nell’insieme dei numeri naturali diciamo che la serie dei numeri è discreta, ossia a 1 segue un 2, a 2 segue subito 3, a 3 segue subito 4 e così via. Nell’insieme dei reali, invece, la serie dei numeri è continua: fra 1 e 2 ci sono infiniti numeri! Cioè: 1, 00000 < 1, 00001 < 1, 00002 < … < 2.
Ma come si fa a dimostrare che i numeri reali, quindi, non sono numerabili? Eh la dimostrazione è anch’essa piuttosto semplice e fa uso del metodo diagonale (o diagonalizzazione) inventato dallo stesso Cantor.
Dimostrazione: per assurdo
Supponiamo che l’insieme dei reali sia numerabile e scriviamo:
(1) Num(ℜ)
Se questo insieme è numerabile, allora lo sarà anche l’intervallo fra 0 e 1 appartenente ai numeri reali, cioè la serie: 0, 00000 < 0, 000001  <  … <  1. Scriviamo quindi:
(2) Num([0, 1])
Se questo intervallo è numerabile, allora possiamo indicare tutti i numeri decimali all’interno di questo intervallo disponendoli in una matrice (tabella). Chiamiamo questi numeri compresi fra 0 e 1 con la lettera greca α, allora:
(3) < α1, α2, α3, α4 > ∈ ℜ
α1 = 0, 8 2 1
α2 = 0, 3 3 2
α3 = 0, 4 3 8
α4 = 0, 4 5 8 1
Per semplicità fermiamoci al quarto numero compreso fra 0 e 1, supponendo di averli enumerati tutti. Adesso, però, possiamo usare il metodo della diagonale di Cantor e prendere le cifre che ho evidenziato in grassetto per costruire un nuovo numero che chiamiamo β, che avrà la forma:
(4) β = 0, 3 8 4 1
Questo numero, appartiene ancora all’insieme dei numeri compresi fra 0 e 1 e sarà uno dei numeri che, presumibilmente, viene dopo α4. Tuttavia possiamo definire adesso un nuovo tipo di numero, β*, tale che questo β* differisca per costruzione da ogni altro numero appartenente all’intervallo fra 0 e 1. Come? Così:
(5) β* = ∀∈ β → n +1.
Ossia, possiamo costruire questo numero β* non compreso nella precedente tabella aggiungendo un +1 ad ogni numero decimale di β.
(6) β* = 0, 4 9 5 2
Questo nuovo numero, per come lo abbiamo costruito, differisce al più per una cifra da ogni altro numero che esiste nella tabella. Questo numero appartiene all’intervallo [0, 1]. Eh ma noi avevamo supposto che quell’intervallo fosse già stato enumerato completamente! Ergo: siamo caduti in un assurdo: pur supponendo di aver un intervallo completamente enumerato, esiste un numero non elencato nell’enumerazione di quell’intervallo. Quindi: l’intervallo fra 0 e 1 non è numerabile!
(7) ¬Num([0, 1])
E a maggior ragione se una sua parte non è numerabile, allora non sarà numerabile neanche l’intero insieme dei numeri reali. Quindi:
(8) ¬Num(ℜ).

QED

La dimostrazione è conclusa e, in modo ingegnoso ma semplice, siamo riusciti a dimostrare il teorema della non numerabilità dei numeri reali.


∃x(φ)

Teorema di Robinson

Il Teorema di Robinson (1956), anche detto teorema della somma di teorie, ci dice in che modo due teorie possano unirsi. Stabilisce, cioè, le condizioni affinché due teorie differenti (ma che abbiano almeno qualcosa in comune) possano unirsi per formare un’unica teoria unificata. Perché è importante questo teorema? Beh, se si pensa che la fisica quantistica (o, più specificatamente: la teoria della relatività e la meccanica quantistica) non è altro che un insieme di teorie matematiche fra loro non necessariamente non contraddittorie, allora il teorema di Robinson ci indica la strada da percorrere affinché si possa giungere ad una teoria del tutto (o teoria fisica unificata).
Veniamo ora nel vivo del teorema:

Enunciato: T e T* sono consistenti se e solo se sono compatibili. Dove compatibili significa che: (I) T è consistente; (II) T* è consistente; (III) non esiste una formula C tale che il linguaggio in cui è formulata C è incluso o uguale all’intersezione del linguaggio di T con il linguaggio di T* e: T dimostra C e T* dimostra ¬C.

[Ho usato il segno ¬ per indicare la negazione di C, quindi ¬C equivale a non-C].
Spieghiamo meglio cosa significa l’enunciato. Due teorie differenti, che chiamiamo T e T*, sono non contraddittorie (ossia, consistenti fra loro) soltanto quando esse sono compatibili. Ovviamente se le due teorie sono inconsistenti (ossia si contraddicono a vicenda), allora non sono compatibili: se una teoria dimostra A ed una dimostra non-A, allora A sarà sia vera sia falsa nella loro somma. Ma questo violerebbe il principio di non contraddizione, quindi è assurdo che si verifichi una tale evenienza. Per essere, invece, compatibili le due teorie devono essere entrambe, se considerate singolarmente, non contraddittorie (ossia non si dà il caso che T dimostri B e non-B,  e lo stesso vale per T*). In più, per essere sommate, bisogna che esse abbiano almeno qualcosa in comune nel loro linguaggio (ossia nel loro apparato concettuale diremmo in termini meno formali). Questo è un requisito necessario, altrimenti potremmo sommare una teoria che parla di atomi ed una che parla di Dio. Ma così confonderemmo una teoria scientifica con una teologica! Noi invece vogliamo restare in un campo ristretto, sicché si possano sommare teorie fra loro correlate.
Si noti, poi, che le due teorie sono consistenti fra loro se e solo se i loro assiomi di partenza sono consistenti.
Possiamo riscrivere (III) così:

  • (III)*   Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)].

Bene, bell’enunciato sicuramente. Ma è vero o falso? Per scoprirlo è necessaria una dimostrazione dell’enunciato. La dimostrazione si conduce sciogliendo il “se e solo se” nei due versi, ossia mostrando che il primo termine implica il secondo e, viceversa, che anche il secondo implica il primo.

Dimostrazione:
Dim 1: Se T e T* sono consistenti, allora sono compatibili. Questo verso della doppia implicazione è banale: se T e T* sono entrambe consistenti allora le condizioni (I) e (II) valgono. Quindi T non dimostra contraddizioni e neanche T* ne dimostra. Supponiamo ora che per assurdo le due teorie non siano compatibili, allora ciò significa che T+T* dimostra una contraddizione. Ma questo vuol dire che una fra T e T* è inconsistente! Ma non avevamo supposto fossero entrambe consistenti? L’ipotesi che due teorie sono consistenti ma incompatibili ci conduce dunque all’assurdo, quindi è falsa. Sarà allora vero che se due teorie sono consistenti allora esse sono compatibili.
Dim 2: Se T e T* sono compatibili, allora T e T* sono consistenti. Si procede con una dimostrazione per assurdo, cioè assumiamo che le due teorie siano compatibili ma che non siano consistenti.
(Userò il segno ⇒ per indicare che le due teorie dimostrano una certa proposizione. Userò poi il segno ⊥ per indicare una contraddizione e simbolizza l’assunzione “le due teorie, messe insieme, sono contraddittorie”; in altre parole equivale al fatto che si sta dimostrando l’enunciato per assurdo. Userò il segno ≡ per indicare che due forme sono equivalenti).
(o) T e T* sono compatibili.
(1) T + T* ⇒ ⊥
(2) Siano A gli assiomi di T e B gli assiomi di T*.
(3) A, B ⇒ ⊥
(4) ⇒ A→[B→(⊥)]   [(3) e (4) sono equivalenti; ho solo riscritto (3)]
(5) ⇒ A→ ¬B            [Se B implica l’assurdo, allora è vera non-B]
(5.1) A→¬B è vera anche se è falso A, cioè ¬A è vero, ed è vero ¬B.
(6) Dato (5.1), si danno i tre seguenti casi:
(6.1)  ⇒¬A ma per (2)   T ⇒ A & ¬A.
(6.2)  ⇒ ¬B ma per (2)  T* ⇒ B & ¬B.
(6.3)  Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)] e dunque:
          (6.3.1) [⇒A → C] ≡ [T ⇒ C].
          (6.3.2) [⇒ C → ¬B] ≡ [⇒ B → ¬C] ≡ [T* ⇒ ¬C]

QED

Poiché i sottocasi di (6) hanno condotto all’assurdo — i primi due perché sono in contraddizione con gli assiomi e l’ultimo, coi rispettivi altri due suoi sottocasi, perché dice che le due teorie T e T* dimostrano rispettivamente C e non-C — allora la negazione del teorema è falsa perché contraddittoria. Quindi l’enunciato del teorema è necessariamente vero.

                              

Introduzione alla logica proposizionale

La logica è la scienza del ragionamento e del buon argomentare. In seno ad essa v’è più d’un unico sistema logico — che in genere può essere definito induttivamente fornendo un alfabeto sintattico più delle operazioni di base. Un sistema fondamentale è quello che prende il nome di “logica proposizionale”. Non è difficile intuire il motivo per cui questo sistema è detto proposizionale: esso ha a che fare con le proposizioni (gli enunciati). Procediamo per passi però!

  1. Una proposizione è ogni enunciato il cui valore può essere definito solo da vero o falso.

Dato 1., sappiamo che enunciati come “Sta piovendo”, “Roma è la capitale d’Italia”, “Napoli è una città densamente popolata” rientrano sotto il dominio della logica proposizionale (d’ora in avanti abbrevierò in LP), perché di questi enunciati possiamo dire se siano veri o falsi. Enunciati, invece, che non ammetto nessuno dei due valori di verità sono frasi interrogative (“Sta piovendo?”), frasi esclamative, imposizioni o ordini (“Plotone, avanti, marche!”) ed ovviamente frasi che denotano emozioni (“Mah!”). Ci sono poi enunciati predicativi (“Esiste almeno un x, tale che x è P”) e enunciati modalizzati (“Necessariamente ogni X è P”), questi ultimi due casi rientrano sotto il dominio di logiche più potenti di quella proposizionale, rispettivamente la  logica predicativa e la logica modale che non fanno uso delle tavole di verità (di queste tavole si parlerà nel seguito).
Possiamo riscrivere 1. come segue:

  1. 1*    P ⇒ {V, F}

1.1* dice che se un enunciato è una proposizione, allora ad esso può essere associato un valore: o vero, o falso. Questo è anche detto “principio di bivalenza”. Poiché, poi, vale il principio di non contraddizione, è chiaro che una proposizione può prendere uno ed uno solo dei due valori: non può una proposizione essere sia vera sia falsa.


Alfabeto di LP

In LP esiste un alfabeto con una sintassi contenente certe regole di formazione per un discorso. Ci sono innanzitutto variabili che rappresentano le proposizioni, sicché enunciati anche molto complessi possono essere facilmente manipolati (l’ultima sezione fornisce un esempio di ciò). Per esempio:

(1) Paolo ha i capelli ricci.
(2) Ernesto ha i capelli scuri.
(3) Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto ha i capelli scuri.
(4) Se Paolo ha i capelli ricci, allora gli elefanti sono mammiferi.

Formalizzando, cioè usando le variabili proposizionali, avrò una forma ridotta simbolica dei suddetti enunciati come segue:

(1)’ P
(2)’ E
(3)’ P & E
(4)’ P → M

Chiaramente il livello di complessità simbolica in (1)’-(4)’ si riduce e ad ogni proposizione di (1)-(4) viene associata, per così dire, una lettera che funge da nome provvisorio per quella data proposizione. (1)-(1)’ e (2)-(2)’ sono proposizioni semplici, invece (3)-(3)’ e (4)-(4)’ sono proposizioni composte. Le proposizioni composte sono formate dalla connessione di proposizioni semplici. Ciò che connette due o più proposizioni semplici sono, appunto, i connettivi. I connettivi proposizionali (cioè quelli vero-funzionali, ossia che possono prendere un valore vero o un valore falso) sono soltanto: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
L’alfabeto di LP sarà dunque il seguente:

(i)   Un insieme infinito di variabili proposizionali: P, Q, R…
(ii)  I connettivi logici: ¬, ∧, ∨, →, ↔
(iii) Parentesi ( , )

Da (i)-(iii) possiamo costruire le formule. Una formula ben formata (ossia, una formula tout court) è tale che essa (a) ogni variabile proposizionale è da sola una formula, (b) se P e Q sono formule, allora ¬φ, φ∧χ, φ∨χ, φ→χ, φ↔χ sono formule, (c) nient’altro è una formula. (Ho usato le lettere greche in (b) perché queste fungono da schemi di formule, cioè φ può essere composta da P∧Q per esempio).
Ora che disponiamo di un alfabeto, possiamo passare alle tavole di verità, che ci dicono quando sono vere proposizioni come “Paolo ha i capelli ricci ed Ernesto li ha scuri”.


Operazioni coi connettivi:
le tavole di verità

Abbiamo detto che i connettivi sono i seguenti:
Negazione = non P = ¬P
Congiunzione = P & Q = P ∧ Q
Disgiunzione = P oppure Q = P ∨ Q
Condizionale = Se P allora Q = P → Q
Bicondizionale = P se e solo se Q = P ↔ Q

I valori di ogni singola proposizione, che sono scritti nella prima colonna a sinistra, vanno stabiliti arbitrariamente ma da ciò il calcolo deriva non per arbitrarietà. Nella colonna (o nelle colonne) a destra ci sono i risultati del calcolo, ossia i valori finali che la proposizione avrà. È come se a sinistra facessimo delle ipotesi intorno al valore di verità di una data proposizione ed a destra indicassimo il valore di verità che deriva dalle suddette ipotesi. Il calcolo si ottiene correlando il valore ipotetico istanziato dalla proposizione a sinistra ed il connettivo applicato a tale proposizione a destra.
La tavola di verità (che ci dice in quali condizioni un connettivo è vero) della negazione è la seguente:

P          ¬P
V           F
F           V

Detto in altre parole: se P è vero, allora non-P è falso. Se è falso P, allora non-P è vero. Sembra funzionare no? Poiché ci muoviamo in una logica che ha solo due valori di verità, ne consegue che se una proposizione P è vera, allora la sua negazione sarà falsa (dato che non possono essere veri insiemi un’affermazione e la sua negazione, altrimenti violeremmo il principio di non contraddizione).
La tavola di verità per la congiunzione è la seguente:

P   Q        P ∧ Q
V   V           V
F   V            F
V   F            F
F   F            F

La spiegazione è intuitiva: se P e Q sono entrambe singolarmente vere, allora la proposizione complessa “P & Q” è vera. Esempio: Paolo ha i capelli ricci ed è di carnagione scura è vero se e solo se Paolo ha sia i capelli ricci sia la carnagione scura. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri (altrimenti non sarebbe una contraddizione!).
La tavola di verità della disgiunzione è esattamente la duale di quella della disgiunzione:

P   Q        P ∨ Q
V   V            V
V   F            V
F   V            V
F   F            F

Una disgiunzione è falsa solo quando entrambe le proposizioni semplici sono false (ed è vera quando almeno uno dei due disgiunti è vero). Esempio: “Al concorso possono partecipare o laureati in informatica o laureati in ingegneria informatica”, questa frase è vera (cioè si può partecipare al concorso) se e solo se ci si è laureati in almeno uno dei due corsi di laurea o in entrambi. In quanto tale, è una disgiunzione inclusiva. Se, invece, la disgiunzione fosse stata esclusiva (questa è una forma molto più vicina al nostro linguaggio naturale), allora P ∨¯ Q avrebbe significato che si sarebbe potuto partecipare al concorso solo se si era laureati in informatica ma non in ingegneria informatica e viceversa.
C’è poi il condizionale, o implicazione materiale:

P  Q      P → Q
V  V          V
V  F          F
F  V          V
F  F          V

Questo è il meno intuitivo dei connettivi. Esso dice che un’implicazione è falsa solo quando le premesse sono vere e le conseguenze sono false, vera in tutti gli altri casi. Non è difficile far vedere, però, che ciò non rispecchia l’uso che facciamo dell’implicazione nel nostro linguaggio naturale. Nel linguaggio naturale c’è sempre una correlazione causale fra premessa e conclusione, in LP invece ciò non accade perché ciò che conta sono solo {V, F}. Ciò che conta è che la conclusione sia vera, non importa come ci si è arrivati; se tramite una premessa falsa o tramite una premessa vera, non importa.
C’è infine il bicondizionale, o doppia implicazione, che è sostanzialmente la reiterazione dell’implicazione nel verso opposto: se P implica Q, allora Q implica P = P sse Q.

P   Q      P ↔ Q
V   V          V
F   V           F
V   F           F
F    F          V

Chiaramente il bicondizionale dice che fra P e Q c’è un’equivalenza logica. Un’equivalenza dice che il primo termine è equivalente al secondo termine se il secondo ha lo stesso valore del primo e viceversa. Dunque, la proposizione complessa che connette P e Q sarà vera solo quando P e Q saranno proposizioni equivalenti, ossia quando avranno lo stesso valore di verità: o entrambe vere, o entrambe false. In altre parole: quando si implicheranno a vicenda.


Dimostrazione della verità
di una proposizione complessa

A questo punto non è difficile far vedere che possiamo formalizzare in LP un discorso complesso nel modo seguente:
Sia data la seguente proposizione: “Se Pina è andata a fare la spesa, allora Pina è uscita di casa. Se Pina è uscita di casa, allora ha preso la macchina. Quindi Pina ha preso la macchina”.
Formalizziamo: P = Pina andata a fare la spesa, Q = Pina esce di casa, M = Pina guida la macchina. Avremo la seguente proposizione in LP:

((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)

Questo è il primo caso in cui abbiamo usato le parentesi. Le parentesi ci aiutano a distinguere il campo operativo dei connettivi e sono essenziali per la determinazione del significato della proposizione (a meno che non si stabiliscano regole di forza del legame dei connettivi. Questa è l’alternativa, legittima, ma inusuale).
Determiniamo ora il valore di verità della suddetta proposizione:

P  Q  M      ((P→Q) ∧ (Q→M)) → (P→M)
V  V  V            v       V      v          V      V
V  V  F            v       F       f          V       F
V  F  V            f        F       v         V       V
V  F  F            f        F       v         V       F
F  V  V            v       V       v         V      V
F  V  F            v       F        f         V      V
F  F  V            v       V        v        V      V
F  F  F             v      V        v        V      V

(N.B. Il numero dei valori di verità è aumentato perché ora bisogna considerare anche la terza variabile proposizionale. Le possibili combinazioni aumentano esponenzialmente sicché al posto di avere due V e due F per variabile, si avranno quattro V e quattro F per ogni variabile).
Nella tabella superiore ho scritto le lettere minuscole per indicare il valore di verità dei congiunti (che in questo caso erano anche implicazioni, quindi il loro valore è stato determinato dalla regola del condizionale) presi singolarmente ed i valori in lettere maiuscole per indicare il valore della congiunzione nella premessa e quello della conclusione. I valori in grassetto indicano il valore che determina la verità di tutta la proposizione, ossia il valore del connettivo principale. Poiché il connettivo principale è sempre vero, allora siamo difronte ad una tautologia. Se fosse stato sempre falso allora avremmo avuto difronte una contraddizione. Se fosse stato qualche volta vero e qualche volta falso allora avremmo avuto difronte una contingenza.


∃x(φ)

Che cos’è un numero naturale?

Non è facile definire un numero naturale. Certo qualcuno, pragmaticamente, potrebbe dire: “Un numero naturale è uno dei numeri che iniziano per 0, 1, 2, …”. Bella risposta, almeno intuitivamente. Ma la domanda non era “quanti e quali sono i numeri naturali?”, bensì quale fosse la definizione di un numero naturale. In altre parole: non vogliamo un elenco di numeri naturali, vogliamo prima sapere quali siano le proprietà che li caratterizzano. Ossia la loro natura. A fornirci la risposta è stato il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) che ha definito l’assiomatizzazione standard di tali numeri nel suo lavoro: “Arithmetices principia, nova methodo exposita”, pubblicato nel 1889 .
Che cos’è, dunque, un numero naturale? Sappiamo che ogni genere di numeri fa parte di un insieme ed è in un insieme contenuto. L’insieme (o il dominio) dei numeri naturali viene per convenzione chiamato “Insieme N“. Diremo che un numero x è naturale se e solo se x ∈ N. Se x appartiene all’insieme, o è un elemento dell’insieme, N, allora x è un numero naturale. Cioè si deve verificare la seguente condizione:

= {x}

La rappresentazione è intuitiva. Abbiamo definito come un insieme con un unico elemento. “= {1}” è un insieme formato da soli numeri naturali per esempio. Potremmo anche scrivere così:

  1. = {x, y, z, …, n}
  2. = {1, 2, 3, …, 1938}

1. e 2. sono perfettamente equivalenti, possiamo dire che 2. è un’istanza di 1, cioè 2. è l’esempio pratico dell’esempio formale 1. Fatto vedere ciò, però, ancora non siamo giunti ad individuare le proprietà che fanno sì che questi numeri siano naturali. Abbiamo, infatti, semplicemente mostrato un elenco di numeri, ora vogliamo sapere quali siano i criteri per i quali far rientrare un numero x sotto l’insieme dei numeri naturali.
Supponiamo che ci siano dei numeri naturali x, y, z, allora le condizioni (o proprietà) di base che essi devono soddisfare sono:

(1)   0 è un numero naturale.
(2)   Per ogni numero naturale, x = x.
(3)   Per ogni numero naturale, (x = y) ⇒ (y = x).
(4)   Per ogni numero naturale, [(x = y) & (y = z)] ⇒ (x = z)
(5)   Per ogni x e y, se y è un numero naturale e (x = y), allora anche x è un naturale.

(1) è un’assunzione ed indica che 0 è una costante. (2)-(5) indicano le proprietà equazionali dei numeri naturali, rispettivamente essi sono: riflessivi, simmetrici, transitivi e chiusi rispetto all’equazione (cioè se due numeri sono uguali fra loro e di uno dei due sappiamo che è un naturale, allora possiamo dedurre che anche l’altro sia un naturale). Aggiungiamo ora le ultime condizioni che specificano invece le proprietà aritmetiche.

(6)   Per ogni numero naturale x, S(x) è un numero naturale.
(7)   Per ogni naturale x e y, (x = y) se e solo se [S(x) = S(y)].
(8)   Per ogni numero naturale, S(x) = 0 è falso.

Le condizioni (6)-(8) sono ciò che davvero individua i numeri in quanto naturali. La condizione (6) ci dice che il successore di un numero naturale è ancora un numero naturale. Per cui:

  1. (1 ∈ N) ⇒ S(1) ∈ N
  2.    S(1) ∈⇒ S(S(1)) ∈ N

In 1. ci viene detto sostanzialmente che il successore di 1, ossia 2, fa ancora parte dei numeri naturali, così il successore del successore di 1, ossia 3, fa ancora parte dei numeri naturali.
La condizione (7) a tal punto è banale: due numeri naturali sono uguali se e solo se anche le loro successioni lo sono. Ossia:

(1 = 1) ⇔ (2 = 2)
(1 = 3) ⇔ (2 = 4)

Infine la condizione (8) è forse la più intuitiva: nessun numero ha come successore 0. Ossia: 0 è il primo dei numeri naturali e dunque non è il successore di nessun numero, perché non ci sono altri numeri naturali prima di esso!
Ecco fatto, siamo riusciti ad individuare tutti i numeri naturali per mezzo delle condizioni (1)-(8).


COROLLARIO: Come si generano i numeri naturali?

La generazione dei numeri naturali si dà semplicemente aggiungendo una condizione, che chiamiamo, in continuità con le precedenti condizioni, (9):

(9) Se è un insieme tale che:

  • 0 è un elemento di N,
  • Per ogni numero n in N, si ha che S(n) è anch’esso in N,

Allora contiene ogni numero naturale.

La condizione (9) è anche detta “assioma dell’induzione”. A partire cioè da soli due elementi (lo zero ed il successore di un numero, che potrebbe appunto essere anche il successore di zero) e dalle loro proprietà possiamo derivare l’esistenza e la costruzione dell’intero insieme dei numeri naturali.



∃x(φ)

 

 

Il paradosso del bene

Che cosa si fa quando si fa del bene? Non si sta anche affermando la propria superiorità sull’altro e, dunque, non gli si sta facendo soltanto un bene ma anche un piccolo male affermando il nostro possibile facile predominio su di lui?
Se infatti X facesse del bene a Y, allora Y sarebbe in una naturale condizione di svantaggio rispetto a X, indi per cui avrebbe bisogno dell’aiuto di X. X facendo del bene a Y starebbe non solo facendogli del bene, come è logico, ma anche facendogli un piccolo male: Y sarebbe poi consapevole della sua condizione di debolezza rispetto a X, dato che X può compiere una data azione senza l’aiuto di nessuno, ma Y ha bisogno dell’aiuto di X per compiere questa data azione. Dunque X fa anche del male a Y.
Se supponiamo, invece, che X non faccia del bene a Y, allora lascerebbe Y nella sua condizione di debolezza. Ma se X non ha voluto aiutare Y, ciò vuol dire che X ricava del bene dal male che Y sta vivendo. Dunque se Z aiutasse Y al posto di X, ne consegue che facendo del bene a qualcuno se ne ricavi comunque il male per qualcun altro, cioè X. Dunque anche Z aiutando Y fa del male a X.

Ergo, il bene è causa di qualcosa di malvagio attraverso il suo doppio effetto.
Ma il fatto che il bene possa fare male non è un assurdo?


Il paradosso del bene
∃x(φx)

Controfattuali e mondi possibili

Ci sono delle proposizioni che enunciamo frequentemente nel nostro discorso quotidiano. Proposizioni della cui validità non siamo per nulla dubbiosi, ma delle cui condizioni di verità saremmo non sicuri. Alcuni di questi enunciati sono i condizionali. Un condizionale è un enunciato del tipo: “Se A, allora B”. Chiamiamo la prima parte antecedente, la seconda parte conseguente. Possiamo per esempio dire: “Se c’è differenza di pressione, allora c’è vento”. Questo condizionale è vero in qualunque caso, tranne nel caso in cui A (differenza di pressione) sia vero e B (presenza di vento) sia falso — perché le conseguenze B, altrimenti detto, non seguirebbero dalle loro premesse A e la relazione tra conseguente ed antecedente non sussisterebbe.
Ci sono però anche altri tipi di condizionale.
Un condizionale controfattuale è un condizionale che va contro i fatti, del tipo: “Se A non si fosse verificato, allora B non si sarebbe verificato”. Cioè una frase il cui antecedente è falso rispetto al nostro mondo. Un condizionale di questo tipo si rappresenta formalmente così:

A □⇒ B

“Se A si fosse verificato, allora si sarebbe verificato B”. Questo è un condizionale vero? O è falso? Come possiamo sapere se un controfattuale sia vero o falso? Facciamo degli esempi per comprenderne la problematicità dal punto di vista logico:

  1. Se Boccaccio fosse morto a quattro anni, non avrebbe mai scritto il Decameron.
  2. Se Boccaccio fosse morto a quattro anni, avrebbe scritto il Decameron.

Nei nostri esempi, siamo intuitivamente attratti dall’idea che 1. sia vero e 2. sia falso. Perché? Perché valutiamo la verità di un controfattuale sulla base della nozione di somiglianza. Se ritenere vero un controfattuale non ci allontana troppo da come i fatti sarebbero andati nel nostro mondo attuale —supponendo vero l’antecedente— allora quel controfattuale è vero. In altre parole, la relazione di somiglianza è una relazione ternaria fra il nostro mondo e almeno altri due possibili mondi ideali, ossia situazioni alternative alla nostra. Dobbiamo cioè domandarci: è più simile al nostro un mondo nel quale un bambino morto a 4 anni avesse scritto il Decameron o un mondo nel quale un bambino di 4 anni non l’avrebbe scritto? Intuitivamente è più simile al nostro un mondo nel quale si verifichi il caso che un bambino non possa, date le leggi della psicologia cognitiva, scrivere un’opera tanto complessa. I mondi che hanno più fatti in comune e più leggi naturali in comune saranno quelli più simili fra loro.
Ci sono quindi tre mondi: w,,. Nel nostro mondo w Boccaccio non muore a quattro anni e quindi scrive il Decameron. Nel mondo si verifica il caso 1. e nel mondo si verifica il caso 2. Partendo dal nostro mondo w, ci allontaniamo più da esso ritenendo vero il caso 2. e quindi giungendo al mondo . Dunque, in base alla relazione di somiglianza, il mondo più simile al nostro è w¹ e con esso il caso 1. Possiamo quindi enunciare le condizioni di verità (cioè le possibilità nei fatti che rendono veri i nostri condizionali) di un controfattuale così come segue:

Un controfattuale è vero quando: (i) non ci sono mondi possibili, (ii) esiste un A-mondo in cui c’è B che è più vicino al nostro di un A-mondo in cui B non c’è.

 La condizione (i) soddisfa banalmente le nostre intuizioni: se non ci sono mondi possibili, o situazioni alternative, da valutare, allora il nostro controfattuale è vero in senso vuoto e in ogni caso. La condizione (ii) è quella che soddisfa i requisiti che crediamo debbano essere soddisfatti per ritenere vero un controfattuale. Un mondo in cui Boccaccio è morto (un A-mondo, appunto) e in cui non ha scritto il Decameron (conseguente B) è più vicino a come le cose sarebbero andate nel nostro mondo.
Data la relazione di somiglianza tra mondi, dobbiamo dire che essa è una relazione formale in cui valgono riflessività, totalità e sono possibili pareggi. Che la relazione sia riflessiva vuol dire che il nostro è il mondo più vicino a sé stesso, quindi se supponiamo che l’antecedente A sia vero nel nostro mondo, dobbiamo valutare la situazione alternativa in base al nostro solo mondo. Che la relazione sia totale vuol dire che ogni serie di A-mondi è paragonabile. Che siano possibili pareggi vuol dire che non deve sempre esserci il mondo più simile al nostro: possono benissimo esserci due mondi tanto simili fra loro da essere equamente simili al nostro.

Logica dell’Etica

Logica deontica

Molte persone (e molti filosofi) si approcciano all’etica soltanto sulla base della propria moralità. Questo dovrebbe essere un errore, non soltanto teorico ma anche pratico, poiché il più delle volte non riusciamo, poi, a demarcare la differenza fra scelta giusta e scelta ingiusta, fra azione morale e azione immorale. Il seguente articolo vuole solo fare un po’ di chiarezza sull’etica che tutti adottiamo (o adotteremmo) e sulla sua natura formale.
L’etica segue una sua logica. E questa è un sistema deontico (un sistema che dice all’agente che cosa deve fare), ossia una logica delle norme e degli imperativi morali. Un sistema deontico è quindi un sistema etico che dice: a) che cosa è obbligatorio fare, b) che cosa è permesso fare. “Obbligatorio” e “Permesso” (da qui in avanti, “O” sta per obbligatorio, “P” per permesso) sono quindi due operatori che formalizzano “Giusto” o “Ingiusto”. Il seguente grafico rappresenta i rapporti fra gli operatori O e P:

deontic-square2
Quadrato deontico: Obbligatorio implica direttamente il permesso, indirettamente ciò che è vietato e ciò che è omissibile.

Fatta un po’ di luce sui rapporti fra operatori, possiamo già ora proporre il primo assioma valido per ogni sistema etico:

(Ax) Giusto è ciò che è obbligatorio fare. (Ingiusto è ciò che è obbligatorio non fare).

La scelta giusta equivale quindi alla scelta necessaria. Questo, però, non implica che, nei fatti, ogni qual volta dobbiamo scegliere fra la scelta giusta e quella ingiusta, scegliamo necessariamente quella giusta. Non viviamo in un mondo di santi. Inoltre, il sistema logico dell’etica è prescrittivo e non descrittivo (dice, cioè, come il nostro agire dovrebbe essere e non come effettivamente è). Nel nostro mondo etico, la seguente (D)-implicazione — userò “O” per dire che una certa azione “p” è obbligatoria — non è valida:

(D) Op → p

Non è cioè vero che “Se è obbligatorio scegliere p, allora scegliamo p”, poiché il nostro è un mondo fatto, appunto, di scelte sbagliate che sembrano giuste e di scelte giuste che sembrano sbagliate, di scelte consapevolmente giuste o ingiuste che vengono attuate e così via. Ciò non rappresenta un problema per il sistema etico, poiché suddetto sistema aspira a dirci soltanto come agire, non come agiamo nei fatti — d’altronde, il nostro è un mondo etico imperfetto. Possiamo, tuttavia, già sulla base del solo (Ax) (cioè dell’assioma che dice che giusto è ciò che è necessario) delineare la logica deontica minimale che sta alla base di ogni etica.


Logica deontica minimale

 La logica deontica minimale aggiunge un altro assioma, che “rassicura” il nostro agire. È il seguente:

(Ax1) Op → Pp

(Ax1) ci dice che: Se è obbligatorio scegliere p, allora è permesso scegliere p. È chiaro che se qualcosa è necessario fare, allora qualcosa sarà permesso fare. Ci sarebbe ancora molto da dire su questo assioma, ma non voglio annoiare ulteriormente portando l’attenzione sulla struttura logica che ne permette la validità e ne giustifica la verità. Questo assioma dovrebbe comunque rallegrarci del fatto che ogni qualvolta dobbiamo fare la scelta giusta, sappiamo automaticamente e logicamente che essa è anche permessa. Il sistema minimale, dunque, è il seguente:

(Ax) Giusto = Necessario (Obbligatorio fare).
(Ax1) Op → Pp (Se obbligatorio fare p, allora è permesso farlo).


Logica deontica massimale

A partire dalla logica minimale dell’etica possiamo costruire un sistema più potente (cioè in grado di dimostrare e rendere ragione di imperativi etici speciali) aggiungendo gli ultimi due assiomi:

(Ax2) Op → OOp (Se è obbligatorio fare p, allora è obbligatorio che sia obbligatorio).
(Ax3) Pp → OPp (Se è permesso fare p, allora è obbligatorio che sia permesso).

(Ax2) ci dice che la giustezza di un’azione etica è transitiva, ossia: se è obbligatorio che un soggetto X agisca su Y e se è obbligatorio che Y agisca su Z, allora sarà obbligatorio che X agisca su Z. (Ax2) ci permette quindi che l’azione morale si espanda, ossia implica che le azioni morali diventino l’esempio e la norma da seguire e che vengano accettate da tutti man mano che ogni soggetto agisce eticamente. (Ax3) ci dice invece che ogni azione etica tende al perfezionamento: se nel nostro mondo è sempre stato permesso fare p, allora si potrebbe renderlo giusto, ossia necessario, ossia ancora obbligatorio. Chiaramente (Ax3) tende anch’esso a rendere un’azione etica universale. Sia (Ax2) sia (Ax3) sono dunque assiomi speciali e non dicono altro che questo: sii l’esempio che gli altri dovranno seguire. Formalizzano, cioè, ciò che Gandhi già sosteneva: «Sii il cambiamento che vuoi vedere nel mondo».


∃x(φ)