Teorema di Robinson

Il Teorema di Robinson (1956), anche detto teorema della somma di teorie, ci dice in che modo due teorie possano unirsi. Stabilisce, cioè, le condizioni affinché due teorie differenti (ma che abbiano almeno qualcosa in comune) possano unirsi per formare un’unica teoria unificata. Perché è importante questo teorema? Beh, se si pensa che la fisica quantistica (o, più specificatamente: la teoria della relatività e la meccanica quantistica) non è altro che un insieme di teorie matematiche fra loro non necessariamente non contraddittorie, allora il teorema di Robinson ci indica la strada da percorrere affinché si possa giungere ad una teoria del tutto (o teoria fisica unificata).
Veniamo ora nel vivo del teorema:

Enunciato: T e T* sono consistenti se e solo se sono compatibili. Dove compatibili significa che: (I) T è consistente; (II) T* è consistente; (III) non esiste una formula C tale che il linguaggio in cui è formulata C è incluso o uguale all’intersezione del linguaggio di T con il linguaggio di T* e: T dimostra C e T* dimostra ¬C.

[Ho usato il segno ¬ per indicare la negazione di C, quindi ¬C equivale a non-C].
Spieghiamo meglio cosa significa l’enunciato. Due teorie differenti, che chiamiamo T e T*, sono non contraddittorie (ossia, consistenti fra loro) soltanto quando esse sono compatibili. Ovviamente se le due teorie sono inconsistenti (ossia si contraddicono a vicenda), allora non sono compatibili: se una teoria dimostra A ed una dimostra non-A, allora A sarà sia vera sia falsa nella loro somma. Ma questo violerebbe il principio di non contraddizione, quindi è assurdo che si verifichi una tale evenienza. Per essere, invece, compatibili le due teorie devono essere entrambe, se considerate singolarmente, non contraddittorie (ossia non si dà il caso che T dimostri B e non-B,  e lo stesso vale per T*). In più, per essere sommate, bisogna che esse abbiano almeno qualcosa in comune nel loro linguaggio (ossia nel loro apparato concettuale diremmo in termini meno formali). Questo è un requisito necessario, altrimenti potremmo sommare una teoria che parla di atomi ed una che parla di Dio. Ma così confonderemmo una teoria scientifica con una teologica! Noi invece vogliamo restare in un campo ristretto, sicché si possano sommare teorie fra loro correlate.
Si noti, poi, che le due teorie sono consistenti fra loro se e solo se i loro assiomi di partenza sono consistenti.
Possiamo riscrivere (III) così:

  • (III)*   Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)].

Bene, bell’enunciato sicuramente. Ma è vero o falso? Per scoprirlo è necessaria una dimostrazione dell’enunciato. La dimostrazione si conduce sciogliendo il “se e solo se” nei due versi, ossia mostrando che il primo termine implica il secondo e, viceversa, che anche il secondo implica il primo.

Dimostrazione:
Dim 1: Se T e T* sono consistenti, allora sono compatibili. Questo verso della doppia implicazione è banale: se T e T* sono entrambe consistenti allora le condizioni (I) e (II) valgono. Quindi T non dimostra contraddizioni e neanche T* ne dimostra. Supponiamo ora che per assurdo le due teorie non siano compatibili, allora ciò significa che T+T* dimostra una contraddizione. Ma questo vuol dire che una fra T e T* è inconsistente! Ma non avevamo supposto fossero entrambe consistenti? L’ipotesi che due teorie sono consistenti ma incompatibili ci conduce dunque all’assurdo, quindi è falsa. Sarà allora vero che se due teorie sono consistenti allora esse sono compatibili.
Dim 2: Se T e T* sono compatibili, allora T e T* sono consistenti. Si procede con una dimostrazione per assurdo, cioè assumiamo che le due teorie siano compatibili ma che non siano consistenti.
(Userò il segno ⇒ per indicare che le due teorie dimostrano una certa proposizione. Userò poi il segno ⊥ per indicare una contraddizione e simbolizza l’assunzione “le due teorie, messe insieme, sono contraddittorie”; in altre parole equivale al fatto che si sta dimostrando l’enunciato per assurdo. Userò il segno ≡ per indicare che due forme sono equivalenti).
(o) T e T* sono compatibili.
(1) T + T* ⇒ ⊥
(2) Siano A gli assiomi di T e B gli assiomi di T*.
(3) A, B ⇒ ⊥
(4) ⇒ A→[B→(⊥)]   [(3) e (4) sono equivalenti; ho solo riscritto (3)]
(5) ⇒ A→ ¬B            [Se B implica l’assurdo, allora è vera non-B]
(5.1) A→¬B è vera anche se è falso A, cioè ¬A è vero, ed è vero ¬B.
(6) Dato (5.1), si danno i tre seguenti casi:
(6.1)  ⇒¬A ma per (2)   T ⇒ A & ¬A.
(6.2)  ⇒ ¬B ma per (2)  T* ⇒ B & ¬B.
(6.3)  Esiste una C tale che L(C) ⊆ [L(T) ∩ L(T*)] e dunque:
          (6.3.1) [⇒A → C] ≡ [T ⇒ C].
          (6.3.2) [⇒ C → ¬B] ≡ [⇒ B → ¬C] ≡ [T* ⇒ ¬C]

QED

Poiché i sottocasi di (6) hanno condotto all’assurdo — i primi due perché sono in contraddizione con gli assiomi e l’ultimo, coi rispettivi altri due suoi sottocasi, perché dice che le due teorie T e T* dimostrano rispettivamente C e non-C — allora la negazione del teorema è falsa perché contraddittoria. Quindi l’enunciato del teorema è necessariamente vero.

                              

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Teoria dell’evoluzione lamarckiana

Non è semplice parlare di Teoria dell’evoluzione, soprattutto perché di teorie dell’evoluzione ce ne sono state molteplici — non tutte equivalenti, anzi, per lo più ognuna con le sue peculiarità strutturali. V’è stata, per esempio, la teoria dell’evoluzione di Cuvier, poi quella di Linneo, poi quella di Buffon, poi di Erasmus Darwin, poi di Lamarck ed infine di Darwin (per tacere delle teorie successive, come la teoria degli equilibri punteggiati di Gould).
Tuttavia, sono le teorie di Lamarck e di Darwin ad essere considerate quelle che più d’ogni altra hanno dato il via alla biologia evoluzionistica — o alla biologia tout court. È da queste teorie, infatti, che un’idea di evoluzione biologica prende forma nel modo più compiuto; un’evoluzione senza Dio, senza volontà personificate, senza cause finale. Un’evoluzione il cui unico motore è la causa efficiente. In altre parole: la trasformazione (termine lamarckiano) o la variazione (termine darwiniano) avvengono se e solo se c’è una causa organica chimico-fisica che le sostiene. Entrambi gli scienziati sarebbero d’accordo nel dire che: la modificazione è causa della generazione di nuove specie (lascerò sottinteso questo punto nel seguito dell’esposizione).
In questa prima parte mi occuperò della teoria dell’evoluzione di Lamarck.


Tε(Λ)

La teoria dell’evoluzione (o meglio, della trasformazione) di Jean-Baptiste de Lamarck (1744-1829) la si ritrova nell’opera Philosophie zoologique, pubblicata nel 1809. Egli dapprima aveva riordinato il dominio dei Vermi e degli Insetti (per Cuvier, ad esempio, il granchio era ancora un insetto), dividendolo in esseri provvisti di colonna vertebrale ed in esseri sprovvisti di essa. Nasceva l’odierna classificazione in: vertebrati e invertebrati.
In seguito, Lamarck si accorse che il vecchio argomento teologico non funzionava (se c’è un orologio, allora c’è un orologiaio. Dunque: se c’è una natura ordinata di forme, deve esserci un Dio che le abbia create). Egli, anzi, rovesciò l’argomento proponendo una versione più semplice: aggregatesi fortuitamente in una commistione vari agenti inorganici, la combinazione di essi ha prodotto le prime semplicissime forme di materia organica. 
Lamarck a questo punto, però, si chiede: pur supponendo che le prime forme organiche fosse talmente semplici quanto batteri o funghi, come hanno poi potuto trasformarsi via via fino a giungere agli organismi tanto più complessi quanto sono gli attuali viventi? La risposta che Lamarck dà è: l’ambiente ha giocato un ruolo fondamentalmente istruttivo sulle prime forme e via via su tutte le altre che per successive trasformazioni si sono succedute l’una all’altra.
In altre parole: l’ambiente ha indotto la trasformazione, dando il via alla seguente successione:

(L)   Mod. Ambientale ⇒ Mod. Bisogni ⇒ Mod. Comportamentale ⇒ Mod. Abitudini ⇒ Mod. Anatomica ⇒ Mod. Fisiologica

Nell’enunciato (L) è condensata la teoria dell’evoluzione di Lamarck: una modificazione ambientale determina un cambiamento nei bisogni dell’entità biologica, a cui segue un cambiamento nei comportamenti per soddisfare questi nuovi bisogni, quindi anche un cambiamento nelle abitudini comportamentali, a cui segue infine una modificazione nella forma fisica e dunque una modificazione fisiologica.
Facciamo qualche esempio: la giraffa. Prima c’erano gli antenati della giraffa, i quali non avevano il collo lungo. L’ambienta ha tuttavia iniziato a mutare: magari sul terreno v’erano poche fonti vegetali di cui la giraffa dal collo corto potesse nutrirsi, però sui rami degli alberi, più in alto, v’erano rigogliosi fonti di nutrimento per l’animale. Lamarck presuppone che questo cambiamento influisca sui comportamenti e le abitudini della giraffa, finché, struggendosi per arrivare più in alto, questa acquisì negli esemplari successivi un collo via via sempre più lungo per brucare il fogliame più in alto.
Ma Lamarck, ad (L) aggiunge anche altre due leggi (di cui non è sua la paternità): (a) la legge dell’uso e del disuso, (b) la legge dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti.
La legge (a) dice che, quanto più un animale usa un organo, tanto più questo si svilupperà e quanto più un animale non fa uso di un organo, tanto più questo si atrofizzerà. La legge (b), invece, dice che dagli individui che hanno acquisito (o perduto) una certa caratteristica funzionale la progenie erediterà i suddetti caratteri funzionali.
La legge (a) è stata già esposta implicitamente in (L), la legge (b) definisce ulteriormente il fatto che le giraffe che avranno acquisito il collo lungo in seguito all’aumentato uso dei muscoli erettili del collo per giungere più in alto, trasmetteranno alla discendenza un collo già più lungo del normale.
Ma l’evoluzione lamarckiana non procede in modo unidirezionale; anzi gli esseri si trasformano sia per complessificazione sia per semplificazione. Prendiamo gli ultimi due esempi: la talpa ed il bradipo.

  1. Se la giraffa si è evoluta per complessificazione (poiché le sue trasformazioni sono avvenute per aumentato uso di un organo), la talpa si è invece evoluta per semplificazione. La talpa è divenuta cieca: perché? Perché adattandosi ad un ambiente sotterraneo, dove la luce scarseggia, l’utilizzo dell’organo della vista è risultato non soltanto infruttuoso ma addirittura inutile. In più, il continuo contatto con la terra avrebbe portato la talpa ad avere continue congiuntiviti ed infiammazioni dell’organo della vista, qualora fosse stato usato. Essendo inutile (o dannoso) per l’ambiente in cui la talpa sopravvive, l’occhio è andato atrofizzandosi per disuso, sicché la talpa si è evoluta per semplificazione organica.
  2. Il bradipo si è trasformato sia per uso sia per disuso. Osservandolo, vediamo che esso è un animale lento e goffo, sonnolente, come se fosse in un perenne stato letargico. Tuttavia il bradipo ha braccia molto forti e al posto delle “mani” possiede una sorta di serramanico che usa per aggrapparsi sugli alberi. Il bradipo, cioè, è un esempio vivente di trasformazione avvenuta contemporaneamente sia per uso sia per disuso: per vivere sugli alberi e non rischiare di cadere dai rami, ha ridotto al massimo la possibilità dei movimenti (trasformazione per disuso) e le mani si sono trasformate in una sorta di uncini affinché la presa sui rami fosse più salda e sicura (trasformazione per uso).

La teoria di Lamarck consiste quindi delle leggi della modificazione a partire dall’ambiente, più le leggi di uso/disuso e dell’ereditarietà dei caratteri acquisiti; in formule possiamo scriverla così: (L)+[(a)+(b)] = Tε(Λ).